Г. И. Корнилов
| ← | Глава 2, «Основные понятия математической статистики» | От автора | → |
В большинстве случаев практического применения системного анализа для исследования свойств и последующего оптимального управления системой можно выделить следующие основные этапы:
Остановимся вкратце на каждом из этих этапов. Будем выделять наиболее сложные в понимании этапы и пытаться усвоить методы их осуществления на конкретных примерах.
Но уже сейчас отметим, что в каждом конкретном случае этапы системного занимают различный «удельный вес» в общем объеме работ по временным, затратным и интеллектуальным показателям. Очень часто трудно провести четкие границы — указать, где оканчивается данный этап и начинается очередной.
Уже упоминалось, что в постановке задачи системного анализа обязательно участие двух сторон: заказчика (ЛПР) и исполнителя данного системного проекта. При этом участие заказчика не ограничивается финансированием работы − от него требуется (для пользы дела) произвести анализ системы, которой он управляет, сформулированы цели и оговорены возможные варианты действий. Так, — в упомянутом ранее примере системы управления учебным процессом одной из причин тихой кончины ее была та, что одна из подсистем руководство Вузом практически не обладала свободой действий по отношению к подсистеме обучаемых.
Конечно же, на этом этапе должны быть установлены и зафиксированы понятия эффективности деятельности системы. При этом в соответствии с принципами системного подхода необходимо учесть максимальное число связей как между элементами системы, так и по отношению к внешней среде. Ясно, что исполнитель−разработчик не всегда может, да и не должен иметь профессиональные знания именно тех процессов, которые имеют место в системе или, по крайней мере, являются главными. С другой стороны совершенно обязательно наличие таких знаний у заказчика — руководителя или администратора системы. Заказчик должен знать что надо сделать, а исполнитель — специалист в области системного анализа — как это сделать.
Обращаясь к будущей вашей профессии можно понять, что вам надо научиться и тому и другому. Если вы окажетесь в роли администратора, то к профессиональным знаниям по учету и аудиту весьма уместно иметь знания в области системного анализа — грамотная постановка задачи, с учетом технологии решения на современном уровне будет гарантией успеха. Если же вы окажетесь в другой категории — разработчиков, то вам не обойтись без «технологических" знаний в области учета и аудита. Работа по системному анализу в экономических системах вряд ли окажется эффективной без специальных знаний в области экономики. Разумеется, наш курс затронет только одну сторону — как использовать системный подход в управлении экономикой.
Модель изучаемой системы в самом лаконичном виде можно представить в виде зависимости:
| E = f(X,Y) | {3.1} |
где:
Заметим, прежде всего, что возможны ситуации, в которых нет никакой необходимости учитывать состояния природы. Так, например, решается стандартная задача размещения запасов нескольких видов продукции и при этом можем найти E вполне однозначно, если известны значения Xi и, кроме того, некоторая информация о свойствах анализируемой системы.
В таком случае принято говорить о принятии управляющих решенийили о стратегии управления в условиях определенности.
Если же с воздействиями окружающей среды, с состояниями природы мы вынуждены считаться, то приходится управлять системой в условиях неопределенности или, еще хуже — при наличии противодействия. Рассмотрим первую, на непросвещенный взгляд — самую простую, ситуацию.
Классическим примером простейшей задачи системного анализа в условиях определенности может служить задача производства и поставок товара. Пусть некоторая фирма должна производить и поставлять продукцию клиентам равномерными партиями в количестве N =24000 единиц в год. Срыв поставок недопустим, так как штраф за это можно считать бесконечно большим.
Запускать в производство приходится сразу всю партию, таковы условия технологии. Стоимость хранения единицы продукции Cx = 10 копеек в месяц, а стоимость запуска одной партии в производство (независимо от ее объема) составляет Cp = 400 гривен.
Таким образом, запускать в год много партий явно невыгодно, но невыгодно и выпустить всего 2 партии в год — слишком велики затраты на хранение! Где же «золотая середина», сколько партий в год лучше всего выпускать?
Будем строить модель такой системы. Обозначим через n размер партии и найдем количество партий за год: p = N / n = 24000 / n.
Получается, что интервал времени между партиями составляет
t = 12 / p (месяцев), а средний запас изделий на складе — n / 2 штук.
Сколько же нам будет стоить выпуск партии в n штук за один раз?
Сосчитать нетрудно — 0.1 • 12 • n / 2 гривен на складские расходы в год и 400 • p гривен за запуск партий по n штук изделий в каждой.
В общем виде годовые затраты составляют
| E = Cx • T • n / 2 + Cp • N / n | {3.2} |
где T = 12 — полное время наблюдения в месяцах.
Перед нами типичная вариационная задача: найти такое n0, при котором сумма E достигает минимума.
Решение этой задачи найти совсем просто, надо взять производную по n и приравнять эту производную нулю. Это дает:
| n0 = √ (2 • n • Cp / (T • Cx)) | {3.3} |
что для нашего примера составляет 4000 единиц в одной партии и соответствует интервалу выпуска партий величиной в 2 месяца.
Затраты при этом минимальны и определяются как
| E0 = √ (2 • n • T • Cx • Cp) | {3.4} |
что для нашего примера составляет 4800 гривен в год.
Сопоставим эту сумму с затратами при выпуске 2000 изделий в партии или выпуске партии один раз в месяц (в духе недобрых традиций социалистического планового хозяйства):
E1 = 0.1 • 12 • 2000 / 2 + 400 &bull 24000 / 2000 = 6000 гривен в год.
Комментарии, как говорится, излишни!
Конечно, так просто решать задачи выработки оптимальных стратегий удается далеко не всегда, даже если речь идет о детерминированных данных для описания жизни системы — ее модели. Существует целый класс задач системного анализа и соответствующих им моделей систем, где речь идет о необходимости минимизировать одну функции многих переменных следующего типа:
| E = a1X1 + a2X2 + ... + anXn | {3.5} |
где Xi — искомые переменные, ai — соответствующие им коэффициенты или «веса переменных» и при этом имеют место ограничения как на переменные, так и на их веса.
Задачи такого класса достаточно хорошо исследованы в специальном разделе прикладной математики — линейном программировании. Еще в докомпьютерные времена были разработаны алгоритмы поиска экстремумов таких функций E = f(a,X), которые так и назвали — целевыми. Эти алгоритмы или приемы используются и сейчас — служат основой для разработки прикладных компьютерных программ системного анализа.
Системный подход к решению практических задач управления экономикой, особенно для задач со многими десятками сотен или даже тысячами переменных привел к появлению специализированных, типовых направлений как в области теории анализа, так и в практике.
Наиболее «старыми» и, следовательно, наиболее обкатанными являются методы решения специфичных задач, которые давно уже можно называть классическими.
Специалистам в области делового администрирования надо знать эти задачи хотя бы на уровне постановки и, главное, в плане моделирования соответствующих систем.
Первые задачи управления запасами были рассмотрены еще в 1915 году — задолго не только до появления компьютеров, но и до употребления термина «кибернетика». Был обоснован метод решения простейшей задачи — минимизация затрат на заказ и хранение запасов при заданном спросе на данную продукцию и фиксированном уровне цен. Решение — размер оптимальной партии обеспечивало наименьшие суммарные затраты за заданный период времени.
Несколько позже были построены алгоритмы решения задачи управления запасами при более сложных условиях — изменении уровня цен (наличие «скидок за качество» и / или «скидок за количество»); необходимости учета линейных ограничений на складские мощности и т. п.
В этих задачах объектом анализа являются системы, в которых приходится выполнять несколько операций с продукцией (при наличии нескольких способов выполнения этих операций) и, кроме того, не хватает ресурсов или оборудования для выполнения всех этих операций.
Цель системного анализа — найти способ наиболее эффективного выполнения операций с учетом ограничений на ресурсы.
Объединяет все такие задачи метод их решения — метод математического программирования, в частности, — линейного программирования. В самом общем виде задача линейного программирования формулируется так:
требуется обеспечить минимум выражения (целевой функции)
| E(X) = C1X1 + C2X2 + ... + CnXn | {3.6} |
при следующих условиях:
все Xi положительны и, кроме того, на все Xi налагаются m ограничений (m < n)
A11X1 + A12X2 + ... + A1nXn = B1 ... Am1X1 + Am2X2 + ... + AmnXn = Bm |
{3.7} |
Начала теоретического обоснования и разработки практических методов решения задач линейного программирования были положены Д.Данцигом (по другой версии — Л.В.Канторовичем).
Для большинства конкретных приложений универсальным считается т. н. симплекс−метод поиска цели, для него и смежных методов разработаны специальные пакеты прикладных программ (ППП) для компьютеров.
Весьма часто этап содержательной постановки задачи системного анализа приводит нас к выводу о наличии нескольких целей функционирования системы. В самом деле, если некоторая экономическая система может иметь «главную цель» — достижение максимальной прибыли, то почти всегда можно наблюдать ситуацию наличия ограничений или условий. Нарушение этих условий либо невозможно (тогда не будет самой системы), либо заведомо приводит к недопустимым последствиям для внешней cреды. Короче говоря, ситуация, когда цель всего одна и достичь ее требуется любой ценой, практически невероятна.
Пусть имеется самая простая ситуация многокритериальности — существуют только две цели системы T1 и T2 и только две возможных стратегии S1, S2 .
Пусть мы как-то оценили эффективность E11 стратегии S1 по отношению к T1 и эффективность эта оказалась равной 0.4 (по некоторой шкале 0..1). Проделав такую же оценку для всех стратегий и всех целей, мы получили табличку (матрицу эффективностей):
| E | T1 | T2 |
|---|---|---|
| S1 | 0.4 | 0.6 |
| S2 | 0.7 | 0.3 |
Таблица 3.1
Какую же из стратегий считать наилучшей? Пока мы не оговорим значимость каждой из целей, не укажем их веса, — спорить бесполезно! Вот если бы нам было известно, что первая цель, к примеру, в 3 раза важнее второй, то тогда
можно учесть их относительные веса — скажем величинами 0.75 для первой и 0.25 для второй. При таких условиях суммарные эффективности стратегий (по отношению ко всем целям) составят:
для первой E1 = 0.4 • 0.70 + 0.6 • 0.30 = 0.28 + 0.18 = 0.46;
для второй E2 = 0.8 • 0.70 + 0.2 • 0.25 = 0.56 + 0.05 = 0.61;
так что ответ на вопрос о выборе стратегии далеко не очевиден.
Итак, критерий эффективности системы при наличии нескольких целей приходится выражать через эффективности отдельных стратегий виде:
| Es = ∑ St • Ut | {3.8} |
т. е. учитывать веса отдельных целей Ut.
Если вы внимательно следили за рассуждениями при рассмотрении примера {3.2}, то сейчас можете сообразить, что по сути дела там речь шла о двух целях. С одной стороны, мы хотели бы иметь как можно меньшие партии — их дешевле хранить (мал срок хранения). с другой стороны, нам были желательны большие партии, поскольку при этом меньше затраты на запуск партий в производство. Если бы мы перебирали все 365 возможных стратегий (от смены партии каждый день до одной в год), то, конечно же, нашли бы оптимальную стратегию со сменой партий каждые два месяца. Другое дело, что в нашем распоряжении была аналитическая модель системы (формула суммарных затрат).
Так вот — весовые коэффициенты целей в той модели были равными и мы их могли не замечать при поиске минимума затрат. Ну, а что делать, если «важность» целей приходится измерять не по шкале Int или Rel, т. е. в числовом виде, а по шкале Ord? Иными словами — откуда берутся весовые коэффициенты целей?
Очень редко весовые коэффициенты определяются однозначно по «физическому смыслу» задачи системного анализа. Чаще же всего их отыскание можно называть «назначением», «придумыванием», «предсказанием» — т. е. никак не «научными» действиями.
Иногда, как ни странно это звучит, весовые коэффициенты назначаются путем голосования — явного или тайного. Дело в том, что в ситуациях, когда нет числового метода оценки веса цели, реальным выходом из положения является использование накопленного опыта.
Нередко задает весовые коэффициенты непосредственно ЛПР, но чаще его опыт управления подсказывает: одна голова — хорошо, а много умных голов — куда лучше. Принимается особое решение — использовать метод экспертных оценок.
Суть этого метода достаточно проста. Требуется четко оговорить все цели функционирования системы и предложить группе лиц, высоко компетентных в данной отрасли (экспертов) хотя бы расположить все цели по значимости, по «призовым местам» или, на языке ТССА, по рангам.
Высший ранг (обычно 1) означает наибольшую важность (вес) цели, следующий за ним — несколько меньший вес и т. д. Специальный раздел непараметрической статистики — теория ранговой корреляции, позволяет проверить гипотезы о значимости полученной от экспертов информации. Развитие ранговой корреляции, ее другой раздел, позволяет устанавливать согласие, согласованность мнений экспертов или ранговую конкордацию.
Это особо важно в случаях, когда не только возникла нужда использовать мнения экспертов, но и существует сомнение в их компетентности.
Пусть в процессе системного анализа нам пришлось учитывать некоторую величину U, измерение которой возможно лишь по порядковой шкале (Ord). Например, нам приходится учитывать 10 целей функционирования системы и требуется выяснить их относительную значимость, удельные веса.
Если имеется группа лиц, компетентность которых в данной области не вызывает сомнений, то можно опросить каждого из экспертов, предложив им расположить цели по важности или «проранжировать» их. В простейшем случае можно не разрешать повторять ранги, хотя это не обязательно — повторение рангов всегда можно учесть.
Результаты экспертной оценки в нашем примере представим таблицей рангов целей:
| Цели | T1 | T2 | T3 | T4 | T5 | T6 | T7 | T8 | T9 | T10 | Сумма |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Эксперт A | 3 | 5 | 1 | 8 | 7 | 10 | 9 | 2 | 4 | 6 | 55 |
| Эксперт B | 5 | 1 | 2 | 6 | 8 | 9 | 10 | 3 | 4 | 7 | 55 |
| Сумма рангов | 8 | 6 | 3 | 14 | 15 | 19 | 19 | 5 | 8 | 3 | 110 |
| Суммарный ранг | 4.5 | 3 | 1 | 7 | 8 | 9.5 | 9.5 | 2 | 4.5 | 6 | 55 |
Таблица 3.2
Итак, для каждой из целей Ti мы можем найти сумму рангов, определенных экспертами, и затем суммарный или результирующий ранг цели Ri. Если суммы рангов совпадают — назначается среднее значение.
Метод ранговой корреляции позволяет ответить на вопрос — насколько коррелированны, неслучайны ранжировки каждого из двух экспертов, а значит — насколько можно доверять результирующим рангам? Как обычно, выдвигается основная гипотеза — об отсутствии связи между ранжировками и устанавливается вероятность справедливости этой гипотезы. Для этого можно использовать два подхода: определение коэффициентов ранговой корреляции Спирмэна или Кендэлла.
Более простым в реализации является первый — вычисляется значение коэффициента Спирмэна:
| Rs = 1 − (6 • ∑ (di)2) / (n &bull (n2 − 1)) | {3.9} |
где di определяются разностями рангов первой и второй ранжировок по n объектов в каждой.
В нашем примере сумма квадратов разностей рангов составляет 30, а коэффициент корреляции Спирмэна около 0.8, что дает значение вероятности гипотезы о полной независимости двух ранжировок всего лишь 0.004.
При небходимости можно воспользоваться услугами группы из m экспертов, установить результирующие ранги целей, но тогда возникнет вопрос о согласованности мнений этих экспертов или конкордации.
Пусть у нас имеются ранжировки 4 экспертов по отношению к 6 факторам, которые определяют эффективность некоторой системы.
| Факторы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Сумма |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Эксперт A | 5 | 4 | 1 | 6 | 3 | 2 | 21 |
| Эксперт B | 2 | 3 | 1 | 5 | 6 | 4 | 21 |
| Эксперт C | 4 | 1 | 6 | 3 | 2 | 5 | 21 |
| Эксперт D | 4 | 3 | 2 | 3 | 2 | 5 | 21 |
| Сумма рангов | 15 | 11 | 10 | 19 | 12 | 17 | 84 |
| Суммарный ранг | 4 | 2 | 1 | 6 | 3 | 5 | 21 |
| Отклонение суммы от среднего |
+1 | −3 | −4 | +5 | −2 | +3 | 0 |
| 1 | 9 | 16 | 25 | 4 | 9 | 64 |
Таблица 3.3
Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по 14 на фактор.
Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы рангов для любого фактора определится выражением
| Δ = 0.5 • m • (n − 1) | {3.10} |
Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается отклонение суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы. Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения разумно использовать квадраты значений.
В нашем случае сумма таких квадратов составит S = 64, а в общем случае эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех экспертов по отношению ко всем факторам:
| Smax = m2 • (n3 − n ) / 12 | {3.11} |
М. Кэндэллом предложен показатель согласованности или коэффициент конкордации, определяемый как
| K = S / Smax = 12 • S / (m2 • (n3 − n )) | {3.12} |
В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около 0.229, что при четырех экспертах и шести факторах достаточно, чтобы с вероятностью не более 0.05 считать мнения экспертов несогласованными. Дело в том, что как раз случайность ранжировок, их некоррелированность просчитывается достаточно просто. Так для нашего примера указанная вероятность соответствует сумме квадратов отклонений S = 143.3 , что намного больше 64.
В заключение вопроса об особенностях метода экспертных оценок в системном анализе отметим еще два обстоятельства.
В первом примере мы получили результирующие ранги 10 целей функционирования некоторой системы. Как воспользоваться этой результируюзей ранжировкой? Как перейти от ранговой (Ord) шкалы целей к шкале весовых коэффициентов — в диапазоне от 0 до 1?
Здесь обычно используются элементарные приемы нормирования. Если цель 3 имеет ранг 1, цель 8 имеет ранг 2 и т. д., а сумма рангов составляет 55, то весовой коэффициент для цели 3 будет наибольшим и сумма весов всех 10 целей составит 1.
Вес цели придется определять как
(11 − 1) / 55 для 3 цели;
(11 − 2) / 55 для 8 цели и т. д.
При использовании групповой экспертной оценки можно не только выяснять мнение экспертов о показателях, необходимых для системного анализа. Очень часто в подобных ситуациях используют так называемый метод Дельфы (от легенды о дельфийском оракуле).
Опрос экспертов проводят в несколько этапов, как правило — анонимно. После очередного этапа от эксперта требуется не просто ранжировка, но и ее обоснование. Эти обоснования сообщаются всем экспертам перед очередным этапом без указания авторов обоснований.
Имеющийся опыт свидетельствует о возможностях существенно повысить представительность, обоснованность и, главное, достоверность суждений экспертов. В качестве «побочного эффекта» можно составить мнение о профессиональности каждого эксперта.
Как уже отмечалось в первой части нашего курса, в большинстве реальных больших систем не обойтись без учета «состояний природы» — воздействий стохастического типа, случайных величин или случайных событий. Это могут быть не только внешние воздействия на систему в целом или на отдельные ее элементы. Очень часто и внутренние системные связи имеют такую же, «случайную» природу.
Важно понять, что стохастичность связей между элементами системы и уж тем более внутри самого элемента (связь «вход−выход») является основной причиной риска выполнить вместо системного анализа совершенно бессмысленную работу, получить в качестве рекомендаций по управлению системой заведомо непригодные решения.
Выше уже оговаривалось, что в таких случаях вместо самой случайной величины X приходится использовать ее математическое ожидание Mx. Все вроде бы просто — не знаем, так ожидаем. Но насколько оправданы наши ожидания? Какова уверенность или какова вероятность ошибиться?
Такие вопросы решаются, ответы на них получить можно — но для этого надо иметь информацию о законе распределения СВ. Вот и приходится на данном этапе системного анализа (этапе моделирования) заниматься статистического исследованиями, пытаться получить ответы на вопросы:
Если и здесь нет оснований принимать положительное решение, то можно надеяться еще на один выход из положения.
Не всегда, но все же возможно использовать текущее состояние уже действующей большой системы, ее реальную «жизнь» для получения глобальных показателей функционирования системы.
Этой цели служат методы планирования эксперимента, теоретической и методологической основой которых является особая область системного анализа — т. н. факторный анализ, сущность которого будет освещена несколько позже.
Достаточно часто при анализе экономических систем приходится решать т. н. задачи массового обслуживания, возникающие в следующей ситуации. Пусть анализируется система технического обслуживания автомобилей, состоящая из некоторого количества станций различной мощности. На каждой из станций (элементе системы) могут возникать, по крайней мере, две типичных ситуации:
Ясно, что цель системного анализа в данном случае заключается в определении некоторого соотношения между потерями доходов по причине очередей и потерями по причине простоя станций. Такого соотношения, при котором математическое ожидание суммарных потерь окажется минимальным.
Так вот, специальный раздел теории систем — теория массового обслуживания, позволяет:
Обратим внимание на главную особенность такого подхода к задаче системного анализа — явную зависимость результатов анализа и получаемых рекомендаций от двух внешних факторов: частоты поступления и сложности заказов (а значит — времени их исполнения).
Но это уже связи нашей системы с внешним миром и без учета этого факта нам не обойтись. Потребуется провести исследования потоков заявок по их численности и сложности, найти статистические показатели этих величин, выдвинуть и оценить достоверность гипотез о законах их распределения. Лишь после этого можно пытаться анализировать — а как будет вести себя система при таких внешних воздействиях, как будут меняться ее показатели (значение суммарных издержек) при разных управляющих воздействиях или стратегиях управления.
Очень редко при этом используется сама система, производится натуральный эксперимент над ней. Чаще всего такой эксперимент связан с риском потерь заказчиков или неоправданными затратами на создание дополнительных станций обслуживания.
Поэтому следует знать о таком особом подходе к вопросу моделирования систем как метод статистических испытаний или метод Монте Карло.
Вернемся к примеру с анализом работы станций обслуживания. Пусть у нас всего лишь одна такая станция и заранее известны:
λ — средняя скорость поступления заказов и
μ — средняя скорость выполнения заказов (штук в единицу времени), и таким образом задана величина β = λ / μ — интенсивность нагрузки станции.
Уже по этим данным оказывается возможным построить простейшую модель системы. Будем обозначать X число заказов, находящихся в очереди на обслуживании в единицу времени, и попытаемся построить схему случайных событий для определения вероятности P(X).
Событие — в очереди находятся точно X заказов может наблюдаться в одной из четырех ситуаций:
Такая схема событий предполагает особое свойство "технологии" нашей системы — вероятность поступления более одного заказа за рассматриваемую единицу времени и вероятность выполнения более одного заказа за то же время считаются равными 0.
Это не такое уж "вольное" допущение — длительность отрезка времени всегда можно уменьшить до необходимых пределов.
А далее все очень просто. Перемножая вероятности событий A1..3, B1..3, C1..3, D1..3, мы определим вероятности каждого из вариантов интересующего нас события — в течение заданного нами интервала времени длина очереди не поменялась..
Несложные преобразования суммы вероятностей всех четырех вариантов такого события приведут нас к выражению для вероятности длины очереди в X заказов:
| P(X) = βx • (1 − β) | {3.13} |
а также для математического ожидания длины очереди:
| MX = β • (1 − β) | {3.14} |
Оценить полезность такого моделирования позволят простые примеры. Пусть мы решили иметь всего лишь 50%-ю интенсивность нагрузки станции, то есть вдвое "завысили" ее пропускную способность по отношению к потоку заказов.
Тогда для β = 0.5 имеем следующие данные:
| Очередь | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 и более |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 | 0.0652 |
Таблица 3.4
Обобщим полученные результаты:
Наше право (если мы и есть ЛПР!) — принять такую интенсивность или отказаться от нее, но все же у нас есть определенные показатели последствий такого решения.
Полезно проанализировать ситуации с другими значениями интенсивности нагрузки станции.
| β | 1 / 2 | 3 / 4 | 7 / 8 | 15 / 16 |
|---|---|---|---|---|
| Mx | 1 | 3 | 7 | 15 |
Таблица 3.5
Обратим теперь внимание еще на одно обстоятельство — мы полагали известной информацию только о средней скорости (ее математического ожидания) выполнения заказов. Иными словами, мы считали время выполнения очередного заказа независящим ни от его "содержания" (помыть автомобиль или ликвидировать следствия аварии), ни от числа заказов, "стоящих в очереди".
В реальной жизни это далеко не всегда так и хотелось бы хоть как−то учесть такую зависимость. И здесь теория приходит на помощь (тому, кто понимает ее возможности).
Если нам представляется возможность установить не только само μ (среднюю или ожидаемую скорость обработки заказа), но и разброс этой величины Dμ (дисперсию), то можно будет оценить среднее число заказов в очереди более надежно (именно так — не точнее, а надежнее!):
| MX = (λ / μ) + (0.5 • λ2 • Dμ + β2) / (1 − β) | {3.15} |
Как уже неоднократно отмечалось, системный анализ невозможен без учета взаимодействий данной системы с внешней средой. Ранее упоминалась необходимость учитывать состояния природы — большей частью случайных, стохастических воздействий на систему.
Конечно, природа не мешает (но и не помогает) процессам системы осознанно, злонамеренно или, наоборот, поощряюще. Поэтому учет внешних природных воздействий можно рассматривать как "игру с природой", но в этой игре природа — не противник, не оппонент, у нее нет цели существования вообще, а тем более — цели противодействия нашей системе.
Совершенно иначе обстоит дело при учете взаимодействий данной системы с другими, аналогичными или близкими по целям своего функционирования. Как известно, такое взаимодействие называют конкуренцией и ситуации жизни больших систем−монополистов крайне редки, да и не вызывают особого интереса с позиций теории систем и системного анализа.
Особый раздел науки — теория игр позволяет хотя бы частично разрешать затруднения, возникающие при системном анализе в условиях противодействия. Интересно отметить, что одна из первых монографий по этим вопросам называлась "Теория игр и экономического поведения" (авторы — Нейман и Моргенштерн, 1953 г., имеется перевод) и послужила своеобразным катализатором развития методов линейного программирования и теории статистических решений.
В качестве простого примера использования методов теории игр в экономике рассмотрим следующую задачу.
Пусть вы имеете всего три варианта стратегий в условиях конкуренции S1,S2 и S3 (например — выпускать в течение месяца один из 3 видов продукции). При этом ваш конкурент имеет всего два варианта стратегий C1 и C2 (выпускать один из 2 видов своей продукции, в каком то смысле заменяющей продукцию вашей фирмы). При этом менять вид продукции в течение месяца невозможно ни вам, ни вашему конкуренту.
Пусть и вам, и вашему конкуренту достоверно известны последствия каждого из собственных вариантов поведения, описываемые следующей таблицей.
| C1 | C2 | |
|---|---|---|
| S1 | −2000 | +2000 |
| S2 | −1000 | +3000 |
| S2 | +1000 | +2000 |
Таблица 3.6
Цифры в таблице означают следующее:
Предполагается, что обе стороны имеют профессиональную подготовку в области ТССА и действуют разумно, соблюдая правила — вариант поведения принимают один раз на весь месяц, не зная, конечно, что предпринял на этот же месяц конкурент.
По сути дела, в чисто житейском смысле — это обычная «азартная» игра, в которой существует конечный результат, цель игры — выигрыш.
Этой цели добивается каждый игрок, но не каждый может ее добиться. Варианты поведения игроков можно считать ходами, а множество ходов — рассматривать как партию.
Пусть партия состоит всего лишь из одного хода с каждой стороны. Попробуем найти этот наилучший ход сначала для вашего конкурента — порассуждаем за него.
Так как таблица известна как вам, так и конкуренту, то его рассуждения можно промоделировать.
Вашему конкуренту вариант C2 явно невыгоден — при любом вашем ходе вы будете в выигрыше, а конкурент в проигрыше. Следовательно, со стороны вашего противника будет, скорее всего, принят вариант C1, доставляющий ему минимум потерь.
Теперь можно порассуждать за себя. Вроде бы вариант S2 принесет нам максимальный выигрыш в 3000 гривен, но это при условии выбора C2 вашим конкурентом, а он, скорее всего, выберет C1.
Значит наилучшее, что мы можем предпринять — выбрать вариант S3, рассчитывая на наименьший из возможных выигрышей — в 1000 гривен.
Ознакомимся с рядом общепринятых терминов теории игр:
Рассмотренный выше ход рассуждений по поиску наилучшего плана игры в условиях конкуренции — не единственный способ решения задач. Очень часто намного короче и, главное, более логически стройным оказывается другой принцип поиска оптимальных игровых стратегий — принцип минимакса.
Для иллюстрации этого метода рассмотрим предыдущий пример игры с несколько видоизмененной матрицей.
| C1 | C2 | |
|---|---|---|
| S1 | −2000 | −4000 |
| S2 | −1000 | +3000 |
| S2 | +1000 | +2000 |
Таблица 3.7
Повторим метод рассуждений, использованный для предыдущего примера.
Рассуждения нашего конкурента окажутся примерно такими же по смыслу. Понимая, что мы никогда не примем S1 и выберем, в конце концов, S3, он примет решение считать оптимальной для себя стратегию C1 — в этом случае он будет иметь наименьшие убытки.
Можно применить и иной метод рассуждений, дающий, в конце концов, тот же результат. При выборе наилучшего плана игры для нас можно рассуждать так:
Выходит, что наибольший (max) из наименьших (min) выигрышей — это 1000 гривен и сам бог велел полагать стратегию S3 оптимальной, с надеждой на ответный ход конкурента его стратегией C1. Такую стратегию и называют стратегией MaXiMin.
Если теперь попробовать смоделировать поведение конкурента, то для него:
Значит, наш конкурент, если он будет рассуждать здраво, выберет стратегию C1, поскольку именно она обеспечивает наименьший (min) из наибольших (max) проигрышей. Такую стратегию и называют стратегией MiniMax.
Легко заметить, что это одно и то же — вы делаете ход S3 в расчете на ответ C1, а ваш конкурент — ход C1 в расчете на S3.
Поэтому такие стратегии называют минимаксными — мы надеемся на минимум максимальных убытков или, что одно и то же, на максимум минимальной прибыли.
В двух рассмотренных примерах оптимальные стратегии «противников» совпадали, принято говорить — они соответствовали седловой точке матрицы игры.
Метод минимакса отличается от стандартного пути логических рассуждений таким важным показателем как алгоритмичность. В самом деле, можно доказать, что если седловая точка существует, то она находится на пересечении некоторой строки S и некоторого столбца C. Если число в этой точке самое большое для данной строки и, одновременно, самое малое в данном столбце, то это и есть седловая точка.
Конечно, далеко не все игры обладают седловой точкой, но если она есть, то поиск ее при числе строк и столбцов в несколько десятков (а то и сотен) по стандартному логическому плану — дело практически безнадежное без использования компьютерных технологий.
Но, даже при использовании компьютера, писать программу для реализации всех возможных If ... Then придется на специальных языках программирования (например — язык Prolog). Эти языки великолепны для решения логических задач, но практически непригодны для обычных вычислений. Если же использовать метод минимакса, то весь алгоритм поиска седловой точки займет на языке Pascal или C++ не более 5...10 строк программы.
Рассмотрим еще один простой пример игры, но уже без седловой точки.
| C1 | C2 | |
|---|---|---|
| S1 | −3000 | +7000 |
| S2 | +6000 | +1000 |
Таблица 3.8
Задача в этом случае для нас (и для нашего разумного конкурента) будет заключаться в смене стратегий, в надежде найти такую их комбинацию, при которой математическое ожидание выигрыша или средний выигрыш за некоторое число ходов будет максимальным.
Пусть мы приняли решение половину ходов в игре делать с использованием S1, а другую половину — с S2. Конечно, мы не можем знать, какую из своих двух стратегий будет применять конкурент, и поэтому придется рассматривать два крайних случая его поведения.
Если наш конкурент все время будет применять C1, то для нас выигрыш составит 0.5 • (−3000) + 0.5 • (+6000) = 1500 гривен.
Если же он все время будет применять C2, то на выигрыш составит 0.5 • (+7000) + 0.5 • (+1000) = 4000 гривен.
Ну, это уже повод для размышлений, для анализа. В конце концов, можно прикинуть, а что мы будем иметь в случае применения конкурентом также смешанной стратегии? Ответ уже готов — мы будем иметь выигрыш не менее 1500 гривен, поскольку выполненные выше расчеты охватили все варианты смешанных стратегий конкурента.
Поставим вопрос в более общем виде — а существует ли наилучшая смешанная стратегия (комбинация S1 и S2) для нас в условиях применения смешанных стратегий (комбинации C1 и C2) со стороны конкурента? Математическая теория игр позволяет ответить на этот вопрос утвердительно — оптимальная смешанная стратегия всегда существует, но она может гарантировать минимум математического ожидания выигрыша. Методы поиска таких стратегий хорошо разработаны и отражены в литературе.
Таким образом, мы снова оказались в роли ЛПР — системный подход не может дать рецепта для безусловного получения выигрыша.
Нам и только нам, решать — воспользоваться ли рекомендацией и применить оптимальную стратегию игры, но при этом считаться с риском возможного проигрыша (выигрыш окажется гарантированным лишь при очень большом числе ходов).
Завершим рассмотрение последнего примера демонстрацией поиска наилучшей смешанной стратегии.
Пусть мы применяем стратегию S1 с частотой ε, а стратегию S2 с частотой (1 − ε).
Тогда мы будем иметь выигрыш
W(C1) = ε • (−3000) + (1 − ε) • (+6000) = 6000 − 9000 • ε
при применении конкурентом стратегии C1
или будем иметь выигрыш
W(C1) = ε • (+7000) + (1 − ε) • (+1000) = 1000 + 6000 • ε
при применении конкурентом стратегии C2.
Теория игр позволяет найти наилучшую стратегию для нас из условия
| W(C1) = W(C2) | {3.16} |
что приводит к наилучшему значению ε = 1/3 и математическому ожиданию выигрыша величиной в (−3000) • (1/3) + (+6000) • (2/3) = 3000 гривен.
К этому классу относятся задачи анализа систем с противодействием (конкуренцией), также игровых по сути, но с одной особенностью — «правила игры» не постоянны в одном единственном пункте — цены за то, что продается.
При небольшом числе участников торгов вполне пригодны описанные выше приемы теории игр, но когда число участников велико и, что еще хуже, заранее неизвестно, — приходится использовать несколько иные методы моделирования ситуаций в торгах.
Наиболее часто встречаются два вида торгов:
Рассмотрим вначале простейший пример закрытых торгов. Пусть мы (A) и наш конкурент (B) участвуем в закрытых торгах по двум объектам суммарной стоимости C1 + C2.
Мы располагаем свободной суммой S и нам известно, что точно такой же суммой располагает наш конкурент. При этом S < C1 + C2, то есть купить оба объекта без торгов не удастся.
Мы должны назначить свои цены A1, A2 за первый и второй объекты в тайне от конкурента, который предложит за них же свои цены B1, B2. После оглашения цен объект достанется предложившему большую цену, а если они совпали — по жребию.Предположим, что и мы и наш конкурент владеем методом выбора наилучшей стратегии (имеем соответствующее образование).
Так вот — можно доказать, что при равных свободных суммах с нашей и с противоположной стороны существует одна, оптимальная для обеих сторон стратегия назначения цен.
Сущность ее (скажем, для нас) определяется из следующих рассуждений. Если нам удастся купить первый объект, то наш доход составит (C1 − A1) или же, при покупке второго, мы будем иметь доход (C2 − A2). Значит, в среднем мы можем ожидать прибыль
| d = 0.5 • (C1 + C2 − A1 − A2) = 0.5 • (C1 + C2 − S) | {3.17} |
Таким образом, нам выгоднее всего назначить цены
A1 = C1 − d = 0.5 • (C1 − C2 + S) A2 = C2 − d = 0.5 • (C2 − C1 + S) |
{3.18} |
Если же одна из них по расчету окажется отрицательной — выставим ее нулевой и вложим все деньги в цену за другой объект.
Но и наш конкурент, имея ту же свободную сумму и рассуждая точно так же, назначит за объекты точно такие же цены. Как говорится, боевая ничья! Ну, если конкурент не владеет профессиональными
знаниями? Что ж, тем хуже для него — мы будем иметь доход больше, чем конкурент.
Конкретный пример. Сумма свободных средств составляет по 10000 гривен у каждого, цена первого объекта равна 7500, второго 10000 гривен.
Назначим цену за первый объект в 0.5 • (7500 − 10000 + 10000) = 3750 гривен, а за второй 0.5 • (10000 − 7500 + 10000) = 6250 гривен.
Наш доход при выигрыше первого или второго объекта составит 3750 гривен. Такой же доход ожидает и конкурента, если он выбрал такую же, оптимальную стратегию. Но, если он так не поступил и назначил цену за первый объект 3500, а за второй 6000 гривен (пытаясь сэкономить!), то в таком случае мы можем выиграть торги по двум объектам сразу и будем иметь доход уже в 7500 гривен — приобретая имущество общей стоимостью в 17500 за цену в 10000 гривен!
Конечно, если стартовые суммы участников торгов неодинаковы, число объектов велико и велико число участников, то задача поиска оптимальной стратегии становится более сложной, но все же имеет аналитическое решение.
Рассмотрим теперь второй вид задачи — об открытых торгах (аукционах). Пусть все те же два объекта (с теми же стоимостями) продаются с аукциона, в котором участвуем мы и наш конкурент.
В отличие от первой задачи свободные суммы различны и составляют SA и SB , причем каждая из них меньше (C1 + C2) и, кроме того, отношение нашей суммы к сумме конкурента более 0.5, но менее 2.
Пусть мы знаем «толщину кошелька» конкурента и, поскольку ищем оптимальную стратегию для себя, нам безразлично — знает ли он то же о наших финансовых возможностях.
Задача наша заключается в том, что мы должны знать — когда надо прекратить подымать цену за первый объект. Эту задачу не решить, если мы не определим цель своего участия в аукционе (системный подход, напомним, требует этого).
Здесь возможны варианты:
Наиболее интересен третий вариант ситуации — найти нашу стратегию, обеспечивающую
| DA − DB = Max | {3.19} |
Поскольку объектов всего два, то все решается в процессе торгов за первый объект. Будем рассматривать свой ход в ответ на очередное предложение цены X за этот объект со стороны конкурента.
Мы можем использовать две стратегии поступить двумя способами:
Пусть конкурент назначил за первый объект очередную сумму X. Если мы не добавим небольшую сумму (минимальную надбавку Δ), то первый объект достанется конкуренту. При этом у конкурента в запасе останется сумма SB − X. Доход конкурента составит при этом (без учета Δ) DB = C1 − X.
Мы наверняка купим второй объект, если у нас в кармане
SA = (SB − X) + Δ, то есть немного больше, чем осталось у конкурента.
Значит, мы будем иметь доход DA = C2 − (SB − X) и разность доходов в этом случае составит
| DA − DB = C2 − C1 − SB + 2 • X | {3.20} |
Ясно, что эта разность будет положительна только тогда, когда мы уступим первый объект за цену
| X > (C1 − C2 + SB) / 2 | {3.21} |
но никак не меньше.
Будем повышать цену за первый объект до суммы X + Δ с целью купить его.
Наш доход составит при этом DA = C1 − (X + Δ).
Второй объект достанется конкуренту за сумму SA − (X + Δ) + Δ, так как ему придется поднять цену за этот объект до уровня, чуть большего остатка денег у нас.
Доход конкурента составит DB = C2 − (SA − (X + Δ) + Δ), а разность доходов составит (без учета Δ)
| DA − DB = (C1 − X) − (C2 − SA + X) = C1 − C2 + SA − 2 • X | {3.22} |
Эта разность будет положительна при условии
| X < (C1 − C2 + SA) / 2 | {3.23} |
Мы нашли две «контрольные» суммы для того, чтобы знать — когда надо пользоваться одной из двух доступных нам стратегий — выражения {3.21} и {3.23}. Среднее этих величин составит:
| K = (C1 − C2) / 2 + (SA − SB) / 4 | {3.24} |
и определяет разумную границу для смены стратегий нашего участия в аукционе с целью одновременно получить доход себе побольше, а конкуренту — поменьше.
Интересно сосчитать свой доход и разность доходов на этой границе.
Если мы уступили первый объект на этой границе, то по {3.20}:
DA − DB = C2 − C1 − SB + 2 • K = 0.5 • (SA − SB).
DA − DB = C1 − C2 + SA − 2 • K = 0.5 • (SA − SB).
Для удобства сопровождения числовыми данными зададимся свободными суммами и ценами объектов (по нашему представлению об этих объектах): SA = 100 < 175; SB = 110 < 175; C1 = 75; C2 = 100;
0.5 < SA / SB < 2 и примем разрешенную надбавку к цене равной 1.
В этом конкретном случае граница «сражения» за первый объект проходит через сумму
K = −12.5 + 52.5 = 40 $
Если наш конкурент считает, что объекты для него стоят столько же (он знает нашу свободную сумму, а мы знаем его свободную сумму, но другой информации мы и он не обладаем), то он вычислит эту же границу и мы будем довольствоваться разностью доходов не в свою пользу: DA − DB = C1 − C2 + SA − 2 • K = 0.5 • (SA − SB) = −5.
Что делать — у конкурента больший стартовый капитал.
Но, возможно, наш конкурент (играя за себя) будет считать стоимости объектов совсем иными и для него граница будет совсем другой. Или же — цель конкурента в данном аукционе совершенно не такая как наша, что также обусловит другую граничную сумму участия в торгах за первый объект. Иными словами — оптимальная стратегия для конкурента нам совершенно неизвестна.
Тогда все зависит от того, на какой сумме он «отдаст» нам первый объект или, наоборот, до какой границы он будет «сражаться» за него. Следующая таблица иллюстрирует этот вывод.
| Граница 1 торга за объект | Владелец 1 объекта | Доход DA | Доход DB | Разность DA − DB |
|---|---|---|---|---|
| 20 | A | 55 | 20 | 35 |
| 30 | A | 45 | 30 | 10 |
| 35 | A | 40 | 35 | 5 |
| 40 | A | 35 | 40 | −5 |
| 40 | B | 25 | 35 | −5 |
| 45 | B | 35 | 30 | 5 |
| 50 | B | 40 | 25 | 15 |
| 55 | B | 45 | 20 | 25 |
| 60 | B | 50 | 15 | 40 |
| 75 | B | 75 | 0 | 75 |
Таблица 3.9
Заканчивая вопрос об открытых торгах — аукционах, отметим, что в реальных условиях задача моделирования и выбора оптимальной стратегии поведения оказывается весьма сложной.
Дело не только в том, число объектов может быть намного больше двух, а что касается числа участников, то оно также может быть большим и даже не всегда известным заранее. Это приведет к чисто количественным трудностям при моделировании «вручную», но не играет особой роли при использовании компьютерных программ моделирования.
Дело в другом — большей частью ситуация усложняется неопределенностью, стохастичностью поведения наших конкурентов. Что ж, прийдется иметь дело не с самими величинами (заказываемыми ценами, доходами и т. д.), а с их математическими ожиданиями, вычисленными по вероятностным моделям, или со средними значениями, найденными по итогам наблюдений илистатистических экспериментов.
Еще в начале рассмотрения вопросов о целях и методах системного анализа мы обнаружили ситуации, в которых нет возможности описать элемент системы, подсистему и систему в целом аналитически, используя системы уравнений или хотя бы неравенств.
Иными словами — мы не всегда можем построить чисто математическую модель на любом уровне — элемента системы, подсистемы или системы в целом.
Такие системы иногда очень метко называют «плохо организованными» или «слабо структурированными».
Так уж сложилось, что в течение почти 200 лет после Ньютона в науке считалось незыблемым положение о возможности "чистого" или однофакторного эксперимента. Предполагалось, что для выяснения зависимости величины Y = f(X) даже при очевидной зависимости Y от целого ряда других переменных всегда можно стабилизировать все переменные, кроме X, и найти «личное» влияние X на Y.
Лишь сравнительно недавно (см. работы В. В. Налимова) плохо организованные или, как их еще называют — большие системы вполне «законно» стали считаться особой средой, в которой неизвестными являются не то что связи внутри системы, но и самые элементарные процессы.
Анализ таких систем (в первую очередь социальных, а значит и экономических) возможен при единственном, научно обоснованном подходе — признании скрытых, неизвестных нам причин и законов процессов. Часто такие причины называют латентными факторами, а особые свойства процессов — латентными признаками.
Обнаружилась и считается также общепризнанной возможность анализа таких систем с использованием двух, принципиально различных подходов или методов.
Интересно, что оба метода, несмотря на совершенное различие между собой, могут применяться и с успехом применяются при системном анализе одних и тех же систем.
Так, например, интеллектуальная деятельность человека изучается «фишеровским» методом — многие психологи, как иронически замечает В.В. Налимов, «уверены, что им удастся разобраться в результатах многочисленных тестовых испытаний».
С другой стороны, построение т.н. систем искусственного интеллекта представляет собой попытки создания компьютерных программ, имитирующих поведение человека в области умственной деятельности, т.е. применение «винеровского» метода.
Нетрудно понять, что экономические системы, скорее всего, следует отнести именно к плохо организованным — прежде всего, потому, что одним из видов элементов в них является человек. А раз так, то неудивительно, что при системном анализе в экономике потребуется «натурный» эксперимент.
В простейшем случае речь может идти о некотором элементе экономической системы, о котором нам известны лишь внешние воздействия (что нужно для нормального функционирования элемента) и выходные его реакции (что должен «делать» этот элемент).
В каком то смысле спасительной является идея рассмотрения такого элемента как «черного ящика». Используя эту идею, мы признаемся, что не в состоянии проследить процессы внутри элемента и надеемся построить его модель без таких знаний.
Напомним классический пример — незнание процессов пищеварения в организме человека не мешает нам организовывать свое питание по «входу» (потребляемые продукты, режим питания и т. д.) с учетом «выходных» показателей (веса тела, самочувствия и других).
Так вот, наши намерения вполне конкретны в части «что делать» — мы собираемся подавать на вход элемента разные внешние, управляющие воздействия и измерять его реакции на эти воздействия.
Теперь надо столь же четко решить — а зачем мы это будем делать, что мы надеемся получить. Вопрос этот непростой — очень редко можно позволить себе просто удовлетворить свою любознательность. Как правило, эксперименты над реальной экономической системой являются вынужденной процедурой, связанной с определенными затратами на сам эксперимент и, кроме того, с риском непоправимых отрицательных последствий.
Теоретическое обоснование и методика действий в таких ситуациях составляют предмет особой отрасли кибернетики — теории планирования эксперимента.
Договоримся о терминологии:
Очень важно понять цель планируемого эксперимента. В конце концов, мы можем и не получить никакой информации о сущности процессов в цепочке «вход−выход» в самом элементе.
Но если мы обнаружим полезность некоторых, доступных нам воздействий на элемент и убедимся в надежности полученных результатов, то достигнем главной цели эксперимента — отыскания оптимальной стратегии управления элементом. Нетрудно сообразить, что понятие «управляющее воздействие» очень широко — от самых обычных приказов до подключения к элементу источников энергетического или информационного «питания».
Оказывается, что уже само составление плана эксперимента требует определенных познаний и некоторой квалификации.
Опыт доказывает целесообразность включения в план следующих четырех компонентов:
Внимательное рассмотрение компонентов плана эксперимента позволяет заметить, что для его реализации требуются знания в различных областях науки, даже если речь идет об экономической системе — той области, в которой вы приобретаете профессиональную подготовку. Так, при выборе управляющих воздействий не обойтись без минимальных знаний в области технологии (не всегда это — чистая экономика), очень часто нужны знания в области юридических законов, экологии. Для реализации третьего компонента совершенно необходимы знания в области математической статистики, так как приходится использовать понятия распределений случайных величин, их математических ожиданий и дисперсий. Вполне могут возникнуть ситуации, требующие применения непараметрических методов статистики.
Для демонстрации трудностей составления плана эксперимента и необходимости понимания методов использования результатов эксперимента, рассмотрим простейший пример.
Пусть мы занимаемся системным анализом фирмы, осуществляющей торговлю с помощью сети «фирменных» магазинов и имеем возможность наблюдать один и тот же выходной показатель элемента такой системы (например, дневную выручку магазина фирмы).
Естественным является стремление найти способ повышения этого показателя, а если таких способов окажется несколько — выбрать наилучший. Предположим, что в соответствии с первым пунктом правил планирования эксперимента, мы решили испытать четыре стратегии управления магазинами. Коль скоро такое решение принято, то неразумно ограничить эксперимент одним элементом, если их в системе достаточно много и у нас нет уверенности в «эквивалентности» условий работы всех магазинов фирмы.
Пусть мы имеем N магазинов — достаточно много, чтобы провести «массовый» эксперимент, но их нельзя отнести к одному и тому же типу. Например, мы можем различать четыре типа магазинов: А, Б, В и Г (аптечные, бакалейные, водочные и галантерейные).
Ясно также (хотя и для этого надо немножко разбираться в технологии торговли), что выручка магазина вполне может существенно зависеть от дня недели — пусть рабочие дни всех магазинов: Ср, Пт, Сб, Вс.
Первое, «простое» решение, которое приходит в голову — выбрать из N несколько магазинов наугад (применив равновероятное распределение их номеров) и применять некоторое время новую стратегию управления ими. Но столь же простые рассуждения приводят к мысли, что это будет не лучшее решение.
В самом деле — мы рассматриваем элементы системы как «равноправные» по нескольким показателям:
И, в то же время, мы сами разделили объекты на группы и тем самым признаем различие во внешних условиях работы для различных групп. На языке ТССА это означает, что профессиональные знания в области управления торговлей помогают нам предположить наличие, по крайней мере, двух причин или факторов, от которых может зависеть выручка: профиль товаров магазина и день недели. Ни то, ни другое не может быть стабилизировано — иначе мы будем искать нечто другое: стратегию для управления только водочными магазинами и только по пятницам! А наша задача — поиск стратегии управления всеми магазинами и по любым дням их работы.
Хотелось бы решить эту задачу так: выбирать случайно как группы магазинов, так и дни недели, но иметь гарантию (уже не случайно!) представительности выходных данных испытания стратегии.
Теория планирования эксперимента предлагает особый метод решения этой проблемы, метод обеспечения случайности или рандомизации плана эксперимента. Этот метод основан на построении специальной таблицы, которую принято называть латинским квадратом, если число факторов равно двум.
Для нашего примера, с числом стратегий 4, латинский квадрат может иметь вид табл. 3.10 или табл. 3.11.
| Ср | Пт | Сб | Вс | |
|---|---|---|---|---|
| А | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Б | 3 | 4 | 1 | 2 |
| В | 2 | 1 | 4 | 3 |
| Г | 4 | 3 | 2 | 1 |
Таблица 3.10
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
| Ср | А | Б | В | Г |
| Пт | В | Г | А | Б |
| Сб | Б | А | Г | В |
| Вс | Г | В | Б | А |
Таблица 3.11
В ячейках первой таблицы указаны номера стратегий для дней недели и магазинов данного профиля, причем такой план эксперимента гарантирует проверку каждой из стратегий в каждом профиле торговли и в каждый день работы магазина.
Конечно же, таких таблиц (квадратов) можно построить не одну — правила комбинаторики позволяют найти полное число латинских квадратов типа «4 • 4» и это число составляет 576. Для квадрата «3 • 3» имеется всего 12 вариантов, для квадрата «5 • 5» — уже 161280 вариантов.
В общем случае, при наличии t стратегий и двух факторах, определяющих эффективность, потребуется N =a • T2 элементов для реализации плана эксперимента, где a в простейшем случае равно 1.
Это означает, что для нашего примера необходимо использовать 16 «управляемых» магазинов, так как данные, скажем второй строки и третьего столбца, нашего латинского квадрата означают, что по субботам в одном из выбранных наугад бакалейных магазинов будет применяться стратегия номер 1.
Отметим, что латинский квадрат для нашего примера может быть помтроен совершенно иначе — в виде таблицы 3.11, но по-прежнему будет определять все тот же, рандомизированный план эксперимента.
Пусть мы провели эксперимент и получили его результаты в виде следующей таблицы, в ячейках которой указаны стратегии и результаты их применения в виде сумм дневной выручки:
| Дни | Магазины | Сумма | |||
|---|---|---|---|---|---|
| А | Б | В | Г | ||
| Вс | 2:47 | 1:90 | 3:79 | 4:50 | 266 |
| Ср | 4:46 | 3:74 | 2:63 | 1:69 | 252 |
| Пт | 1:62 | 2:61 | 4:58 | 3:66 | 247 |
| Сб | 3:76 | 4:63 | 1:87 | 2:59 | 285 |
| Сумма | 231 | 288 | 287 | 244 | 1050 |
| Итого по стратегиям | 1 | 2 | 3 | 4 | 1050 / 4 =262.5 |
| 308 | 230 | 295 | 217 | ||
Таблица 3.12
Если вычислить, как и положено, средние значения, дисперсии и среднеквадратичные отклонения для четверок значений дневной выручки (по дням, магазинам и стратегиям), то мы будем иметь следующие данные:
| Дни недели | Магазины | Стратегии | |
|---|---|---|---|
| Среднее | 262.5 | 262.5 | 262.5 |
| Дисперсия | 217.3 | 646.3 | 1563.3 |
| СКО | 14.74 | 25.42 | 39.5 |
| Коэф. вариации | 0.056 | 0.097 | 0.151 |
Таблица 3.12А
Уже такая примитивная статистическая обработка данных эксперимента позволяет сделать ряд важных выводов:
В этом — прямой практический результат использования рандомизированного плана, построения латинского квадрата.
Но это далеко не все. Теория планирования эксперимента дает, кроме способов построения планов с учетом возможных влияний на интересующую нас величину других факторов, еще и особые методы обработки полученных экспериментальных данных.
Самая суть этих методов может быть представлена так.
Пусть Wis есть выручка в i-м магазине при применении к нему s-й стратегии управления. Предполагается рассматривать эту выручку в виде суммы составляющих
| Wis = W0 + Δs + Δi | {3.25} |
где:
Несмотря на явную нереальность соблюдения постоянными внешних влияющих факторов, мы можем получить оценку каждого из слагаемых Wis и искать оптимальную стратегию через прибавку от ее применения Δs с учетом ошибки наблюдения. Можно считать доказанной «нормальность» распределения величины Δi и использовать «правило трех сигм» при принятии решений по итогам эксперимента.
Данный параграф является заключительным и более не будет возможности осветить еще одну особенность методов системного анализа, показать вам еще один путь к достижению профессионального уровня в области управления экономическими системами.
Уже ясно, что ТССА большей частью основывает свои практические методы на платформе математической статистики. Несколько упреждая ваш рабочий учебный план (курс математической статистики — предмет нашего сотрудничества в следующем семестре), обратимся к современным постулатам этой науки.
Общепризнанно, что в наши дни можно выделить три подхода к решению задач, в которых используются статистические данные.
В настоящее время все эти подходы достаточно строго обоснованы научно и «снабжены» апробированными методами практических действий.
Но существуют ситуации, когда нас интересует не один, а несколько показателей процесса и, кроме того, мы подозреваем наличие нескольких, влияющих на процесс, воздействий — факторов, которые являются не наблюдаемыми, скрытыми или латентными.
Наиболее интересным и полезным в плане понимания сущности факторного анализа — метода решения задач в этих ситуациях, является пример использования наблюдений при эксперименте, который ведет природа, Ни о каком планировании здесь не может идти речи — нам приходится довольствоваться пассивным экспериментом.
Удивительно, но и в этих «тяжелых» условиях ТССА предлагает методы выявления таких факторов, отсеивания слабо проявляющих себя, оценки значимости полученных зависимостей показателей работы системы от этих факторов.
Пусть мы провели по n наблюдений за каждым из k измеряемых показателей эффективности некоторой экономической системы и данные этих наблюдений представили в виде матрицы (таблицы) E[n•k] {3.26}.
Пусть мы предполагаем, что на эффективность системы влияют и другие — ненаблюдаемые, но легко интерпретируемые (объяснимые по смыслу, причине и механизму влияния) величины — факторы.
Сразу же сообразим, что чем больше n и чем меньше таких число факторов m (а может их и нет вообще!), тем больше надежда оценить их влияние на интересующий нас показатель E.
Столь же легко понять необходимость условия m < k, объяснимого на простом примере аналогии — если мы исследуем некоторые предметы с использованием всех 5 человеческих чувств, то наивно надеяться на обнаружение более пяти «новых», легко объяснимых, но неизмеряемых признаков у таких предметов, даже если мы «испытаем» очень большое их количество.
Вернемся к исходной матрице наблюдений E[n•k] и отметим, что перед нами, по сути дела, совокупности по n наблюдений над каждой из k случайными величинами E1, E2, ... Ek. Именно эти величины «подозреваются» в связях друг с другом — или во взаимной коррелированности.
Из рассмотренного ранее метода оценок таких связей следует, что мерой разброса случайной величины E i служит ее дисперсия, определяемая суммой квадратов всех зарегистрированных значений этой величины ∑(Eij)2 и ее средним значением (суммирование ведется по столбцу).
Если мы применим замену переменных в исходной матрице наблюдений, т.е. вместо Eij будем использовать случайные величины
| Xij = (Eij − M(Ei)) / S(Ei) | {3.27} |
то мы преобразуем исходную матрицу в новую, X[n•k] {3.28}
Отметим, что все элементы новой матрицы X[n•k] окажутся безразмерными, нормированными величинами и, если некоторое значение Xij составит, к примеру, +2, то это будет означать только одно — в строке j наблюдается отклонение от среднего по столбцу i на два среднеквадратичных отклонения (в большую сторону).
Выполним теперь следующие операции.
Эта матрица имеет на главной диагонали дисперсии случайных величин Xi, а в качестве остальных элементов — ковариации этих величин (i = 1...k).
Если вспомнить, что связи случайных величин можно описывать не только ковариациями, но и коэффициентами корреляции, то в соответствие матрице {3.29} можно поставить матрицу парных коэффициентов корреляции или корреляционную матрицу R [k•k] {3.30}, в которой на диагонали находятся 1, а внедиагональные элементы являются обычными коэффициентами парной корреляции.
Так вот, пусть мы полагали наблюдаемые переменные Ei независящими друг от друга, т.е. ожидали увидеть матрицу R[k•k] диагональной, с единицами в главной диагонали и нулями в остальных местах. Если теперь это не так, то наши догадки о наличии латентных факторов в какой−то мере получили подтверждение.
Но как убедиться в своей правоте, оценить достоверность нашей гипотезы — о наличии хотя бы одного латентного фактора, как оценить степень его влияния на основные (наблюдаемые) переменные? А если, тем более, таких факторов несколько — то как их проранжировать по степени влияния?
Ответы на такие практические вопросы призван давать факторный анализ. В его основе лежит все тот же «вездесущий» метод статистического моделирования (по образному выражению В.В.Налимова — модель вместо теории).
Дальнейший ход анализа при выяснению таких вопросов зависит от того, какой из матриц мы будем пользоваться. Если матрицей ковариаций C[k•k], то мы имеем дело с методом главных компонент, если же мы пользуемся только матрицей R[k•k], то мы используем метод факторного анализа в его «чистом» виде.
Остается разобраться в главном — что позволяют оба эти метода, в чем их различие и как ими пользоваться. Назначение обоих методов одно и то же — установить сам факт наличия латентных переменных (факторов), и если они обнаружены, то получить количественное описание их влияния на основные переменные Ei.
Ход рассуждений при выполнении поиска главных компонент заключается в следующем. Мы предполагаем наличие некоррелированных переменных Zj (j = 1..k), каждая из которых представляется нам комбинацией основных переменных (суммирование по i = 1..k):
| Zj = ∑ (Aji • Xi) | {3.31} |
и, кроме того, обладает дисперсией, такой что D(Z1) ≥ D(Z2) ≥ ... ≥ D(Zk).
Поиск коэффициентов Aji (их называют весом j-й компонеты в содержании i-й переменной) сводится к решению матричных уравнений и не представляет особой сложности при использовании компьютерных программ. Но суть метода весьма интересна и на ней стоит задержаться.
Как известно из векторной алгебры, диагональная матрица [2•2] может рассматриваться как описание 2-х точек (точнее — вектора) в двумерном пространстве, а такая же матрица размером [k•k] — как описание k точек k-мерного пространства.
Так вот, замена реальных, хотя и нормированных переменных Xi на точно такое же количество переменных Zj означает не что иное, как поворот k осей многомерного пространства.
«Перебирая» поочередно оси, мы находим вначале ту из них, где дисперсия вдоль оси наибольшая. Затем делаем пересчет дисперсий для оставшихся k−1 осей и снова находим «ось−чемпион» по дисперсии и т.д.
Образно говоря, мы заглядываем в куб (3−х мерное пространство) по очереди по трем осям и вначале ищем то направление, где видим наибольший «туман» (наибольшая дисперсия говорит о наибольшем влиянии чего−то постороннего); затем «усредняем» картинку по оставшимся двум осям и сравниваем разброс данных по каждой из них — находим «середнячка» и «аутсайдера». Теперь остается решить систему уравнений — в нашем примере для 9 переменных, чтобы отыскать матрицу коэффициентов (весов) A[k•k].
Если коэффициенты Aji найдены, то можно вернуться к основным переменным, поскольку доказано, что они однозначно выражаются в виде (суммирование по j=1...k)
| Xi = ∑ (Aji • Zj) | {3.32} |
Отыскание матрицы весов A[k•k] требует использования ковариационной матрицы и корреляционной матрицы.
Таким образом, метод главных компонент отличается прежде все тем, что дает всегда единственное решение задачи. Правда, трактовка этого решения своеобразна.
Этот ответ обоснован — дисперсия этого фактора оказалась третьей по крупности среди всех прочих. Все... Больше ничего получить в этом случае нельзя. Другое дело, что этот вывод оказался нам полезным или мы его игнорируем — это наше право решать, как использовать системный подход!
Несколько иначе осуществляется исследование латентных переменных в случае применения собственно факторного анализа. Здесь каждая реальная переменная рассматривается также как линейная комбинация ряда факторов Fj, но в несколько необычной форме
| Xi = ∑ (Bji • Fj) + Δi | {3.33} |
причем суммирование ведется по j = 1..m , т.е. по каждому фактору.
Здесь коэффициент Bji принято называть нагрузкой на j-й фактор со стороны i-й переменной, а последнее слагаемое в {3.33} рассматривать как помеху, случайное отклонение для Xi. Число факторов m вполне может быть меньше числа реальных переменных n и ситуации, когда мы хотим оценить влияние всего одного фактора (ту же вежливость продавцов), здесь вполне допустимы.
Обратим внимание на само понятие «латентный», скрытый, непосредственно не измеримый фактор. Конечно же, нет прибора и нет эталона вежливости, образованности, выносливости и т.п. Но это не мешает нам самим «измерить» их — применив соответствующую шкалу для таких признаков, разработав тесты для оценки таких свойств по этой шкале и применив эти тесты к тем же продавцам. Так в чем же тогда «ненаблюдаемость»? А в том, что в процессе эксперимента (обязательно) массового мы не можем непрерывно сравнивать все эти признаки с эталонами и нам приходится брать предварительные, усредненные, полученные совсем не в «рабочих» условиях данные.
Можно отойти от экономики и обратиться к спорту. Кто будет спорить, что результат спортсмена при прыжках в высоту зависит от фактора — «сила толчковой ноги». Да, это фактор можно измерить и в обычных физических единицах (ньютонах или бытовых килограммах), но когда?! Не во время же прыжка на соревнованиях!
А ведь именно в это, рабочее время фиксируются статистические данные, накапливается материал для исходной матрицы.
Несколько более сложно объяснить сущность самих процедур факторного анализа простыми, элементарными понятиями (по мнению некоторых специалистов в области факторного анализа — вообще невозможно). Поэтому постараемся разобраться в этом, используя достаточно сложный, но, к счастью, доведенный в практическом смысле до полного совершенства, аппарат векторной или матричной алгебры.
До того как станет понятной необходимость в таком аппарате, рассмотрим так называемую основную теорему факторного анализа. Суть ее основана на представлении модели факторного анализа {3.33} в матричном виде
| X[k•1] = B[k•m] &bull F[m•1] + Δ[k•1] | {3.34} |
и на последующем доказательстве истинности выражения
| R[k•k] = B[k•m] &bull B*[m•k] + Δ[k•1] | {3.35} |
для «идеального» случая, когда невязки Δ пренебрежимо малы.
Здесь B*[m•k] это та же матрица B[k•m], но преобразованная особым образом (транспонированная).
Трудность задачи отыскания матрицы нагрузок на факторы очевидна — еще в школьной алгебре указывается на бесчисленное множество решений системы уравнений, если число уравнений больше числа неизвестных. Грубый подсчет говорит нам, что нам понадобится найти k•m неизвестных элементов матрицы нагрузок, в то время как только около k2 / 2 известных коэффициентов корреляции. Некоторую «помощь» оказывает доказанное в теории факторного анализа соотношение между данным коэффициентом парной корреляции (например R12) и набором соответствующих нагрузок факторов:
| R12 = B11 • B21 + B122 • B22 + ... + B1m • B2m | {3.36} |
Таким образом, нет ничего удивительного в том утверждении, что факторный анализ (а, значит, и системный анализ в современных условиях) — больше искусство, чем наука. Здесь менее важно владеть «навыками» и крайне важно понимать как мощность, так и ограниченные возможности этого метода.
Есть и еще одно обстоятельство, затрудняющее профессиональную подготовку в области факторного анализа — необходимость быть профессионалом в «технологическом» плане, в нашем случае это, конечно же, экономика.
Но, с другой стороны, стать экономистом высокого уровня вряд ли возможно, не имея хотя бы представлений о возможностях анализировать и эффективно управлять экономическими системами на базе решений, найденных с помощью факторного анализа.
Не следует обольщаться вульгарными обещаниями популяризаторов факторного анализа, не следует верить мифам о его всемогущности и универсальности. Этот метод «на вершине» только по одному показателю — своей сложности, как по сущности, так и по сложности практической реализации даже при «повальном» использовании компьютерных программ. К примеру, есть утверждения о преимуществах метода главных компонент — дескать, этот метод точнее расчета нагрузок на факторы. По этому поводу имеется одна острота известного итальянского статистика Карло Джинни, она в вольном пересказе звучит примерно так: «Мне надо ехать в Милан, и я куплю билет на миланский поезд, хотя поезда на Неаполь ходят точнее и это подтверждено надежными статистическими данными. Почему? Да потому, что мне надо в Милан...».
| ↑ | Оглавление | ||
| ← | Глава 2, «Основные понятия математической статистики» | От автора | → |
© Виктор Сафронов, 2006–2017
Пользовательское соглашение | RSS | Поддержать проект | Благодарности