«Системный анализ и проектирование»

Е. Н. Живицкая

Лекция 2: Понятие системы

В настоящее время понятие «система» широко используется почти во всех областях науки и техники. Однако до сих пор оно еще не имеет достаточно четкого определения. Почти каждый, кто пытается уточнить, что же следует понимать под системой, прежде всего стремиться создать некий умозрительный образ. Некоторым удается дать словесное описание такого образа в виде множества элементов, сложное взаимодействие которых приводит к достижению некой неосознанной цели. В ряде случаев такие индивидуальные умозрительные образы имеют так много общего, что оказывается возможным полное взаимопонимание, без которого немыслимы плодотворные дискуссии, не говоря уже о сотрудничестве. Чаще, однако, в силу тех или иных причин, такое взаимопонимание не достигается, несмотря на самое неподдельное стремление к общению. Именно этим обстоятельством объясняется тот факт, что одной из главных проблем, которым посвящен настоящий курс лекций, является создание основы для обсуждения системно-теоретических вопросов. С этой целью на различных примерах системных задач демонстрируется возможность описания и анализа любой из них с помощью довольно ограниченного набора математических абстракций. Естественно, что при этом возникает необходимость в использовании определенного математического аппарата. Это и не удивительно, поскольку уровень знаний в области биологии, социологии, психологии, экономики (не говоря уже о таких науках, как физики или химия) настолько высок, что накопленные сведения невозможно осмыслить, не обращаясь к абстракции. К счастью, однако, для понимания большинства фундаментальных понятий системного анализа вполне достаточно иметь общее представление об обычном дифференциальном исчислении, геометрии и элементарной алгебре. В тех случаях, когда мы будем вынуждены прибегнуть к более сложному математическому аппарату, формальное математическое изложение будет сопровождаться соответствующими системно-теоретическими рассуждениями и поясняться с помощью примеров. Пояснение основных положений с помощью примеров, а не экзотических теорий помогает студенту понять существо дела, не слишком вдаваясь в подробности.

Пожалуй, лучше всего начать изложение материала с рассмотрения некоторых модельных ситуаций, или так называемых «типичных системных задач». Анализ этих задач позволяет выявить некоторые общие системные проблемы, для изучения которых, как будет показано, может быть использовано несколько математических конструкций. При этом неоднократно подчеркивается, что не существует единственной модели этой системы: существует множество моделей, каждая из которых пригодна для изучения определенного класса вопросов, связанных со структурой и функционированием системы. Поэтому важно, чтобы исследователь имел в своем распоряжении как можно больше математических методов для анализа принципов построения и работы созданной им модели.

Пример 1

Макроэкономика. Рассмотрим экономический комплекс, состоящий их n секторов, выпускающих продукцию x₁, x₂, ..., x_n соответственно. Предположим для определенности, что выпуск продукции измеряется в долларах в год. Причем продукция, выпускаемая каждым сектором, используется как самим сектором, так и другими секторами комплекса и внешними потребителями.

Пусть a_ij представляет собой часть продукции, выпускаемой i-м сектором, которая необходима для производства единицы продукции j-го сектора (i, j = 1, 2, ..., n). Внешнее потребление продукции, выпускаемой i-м сектором, обозначим через y_i. Тогда можно записать следующее уравнение материального баланса:

X_i ∑a_ijx_j + y_i

Данная элементарная модель может быть использована для определения объема продукции, необходимой для удовлетворения заданного спроса при существующей технологии, которая описывается с помощью коэффициентов a_ij. Возможные обобщения и детализация этой модели образуют основу для так называемой модели «затраты-выпуск». Матрицу технологических коэффициентов А=[a_ij] часто называют леонтьевской матрицей.

Пример 2

Динамика водохранилищ. Упрощенный вариант системы водохранилищ показан на рис.2.1. Выходами системы являются сток y₁(t) и доля грунтовых вод y₂(t) в этом стоке, внешними входами — осадки r₁(t) и r₂(t). Наполнение наземных водохранилищ в момент времени t обозначено через x₁(t),x₂(t) и x₃(t), наполнение подземного резервуара (с учетом просачивания) — через x₄(t), а попуски воды из водохранилищ — через u₁(t) и u₂(t). Учет связи между поверхностным стоком и грунтовыми водами осуществляется с помощью выражения l₃(x₄-x₃); коэффициент k характеризует поверхностный сток, а коэффициенты l₁ и l₂ — грунтовый.

Рис. 2.1 — Сеть водохранилищ

Уравнения неразрывности приводят к следующим динамическим соотношениям:

x₁(t+1) = x₁(t) - l₁x₁(t) - u₁(t) + r₁(t),
x₂(t+1) = x₂(t) - l₂x₂(t) - u₂(t) + r₂(t),
x₃(t+1) = x₃(t) + l₃[x₄(t) - x₃(t)]  - kx₃(t) + u₁(t) + u₂(t),
x₄(t+1) = x₄(t) + l₁x₁(t) + l₂x₂(t) - l₃[x₄(t) - x₃(t)].

Измеряемые выходы системы имеют вид:

y₁(t) = kx₃(t),
y₂(t) = l₃[x₄(t) - x₃(t)].

Приведенное выше описание системы может оказаться полезным при изучении ряда важных вопросов, связанных с управлением паводками, оптимальной стратегией попусков (водосборов), точным определением уровня грунтовых вод и т.д.

Пример 3

Система «хищник-жертва». Одной из популярных проблем науки о живой природе является исследование взаимодействия сообществ «хищники-жертвы» в некоторой ограниченной среде обитания. Рассмотрим для простоты экосистему с одним трофическим уровнем, в котором хищники и жертвы разделяются на два непересекающихся множества. Пусть множество хищников состоит из следующих элементов:

Y = [ люди, львы, слоны, птицы, рыбы, лошади ],

а множество жертв —

X = [ антилопы, зерно, кабаны, скот, трава, листья, насекомые, рептилии ].

Определение точных количественных динамических существующих между хищниками и жертвами, является довольно связей, сложной задачей. Как правило, с уверенностью можно утверждать только, что определенные хищники выбирают только определенные жертвы. В подобной ситуации описание системы в терминах отношения инцидентности может дать совершенно неожиданную информацию о фундаментальной структуре экосистемы.

Определим отношение между множествами X и Y следующим образом:

Отношение l существует между хищником y и жертвой x тогда и только тогда, когда хищник y поедает жертву x. Отношение l удобно описать с помощью матрицы инциденций L:

Причем, если хищник y поедает жертву x, то l = 1, в противном случае l = 0. Анализируя матрицу инциденций, можно выявить совершенно неочевидные структурные свойства системы «хищник-жертва». Таким образом, даже в отсутствии очевидных динамических уравнений оказывается возможным построить содержательное математическое описание изучаемой системы.

Пример 4

Двоичный выбор. При анализе многих системных задач, представляющих практический интерес, разумно предполагать, что система стремится минимизировать некоторую (быть может, неизвестную) потенциальную функцию. Это означает, что в отсутствие внешних возмущений система стремится к состоянию равновесия, которому соответствует минимум энергии некоторого «силового поля», причем природа этого поля может быть различной. Для иллюстрации этого положения рассмотрим случай, когда возможны два варианта выбора в зависимости от значений некоторой функции полезности U(x, a, b), где x — переменная, описывающая выбор; а и b — параметры, от которых этот выбор зависит. Тогда можно определить функцию бесполезности как E(x, a, b) = -U и построить модель, в которой эта функция минимизируется.

Допустим, что между двумя пунктами возможны два маршрута А и В, стоимость которых соответственно C_A и C_B. Внешние параметры а и b являются функциями разности стоимостей С = C_B - C_A. Предположим, что x < 0 соответствует маршруту А, а x > 0 — маршруту В. Тогда можно построить функции а(С) и b(C), такие, найдется такое число l, что:

• если С > 0 и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута А и, следовательно, x < 0;
• если С < 0 и велико по модулю, то возможен выбор только маршрута В и, следовательно, x > 0;
• если 0 < С < l, то наиболее вероятным является А, хотя возможен выбор и маршрута В
• если -l < С < 0, то наиболее вероятным является выбор маршрута В, хотя возможен выбор и маршрута А;
• если C = O, то вероятности выбора каждого маршрута одинаковы.

Рис. 2.2 — Выбор двоичного маршрута

Для построения модели процесса выбора нам потребовалась всего лишь функция бесполезности. Другими словами, мы не испытывали необходимости в более подробном описании внутренней динамики процесса (которого для большинства социально-экономических систем просто нет). Более того, нам не нужно даже знать точного вида функции Е(x, a, b). Единственное, что требуется, наша готовность признать сам факт существования такой функции, а все остальное следует из абстрактных математических рассуждений и имеющихся численных данных (включая и точный вид кривой, представленной на рис.1.2, поскольку это необходимо для количественного моделирования данной системы). Для моделирования подобных ситуаций используется теория катастроф Тома.