Лекции и учебные пособия по системному анализу

Системный анализ

«Системный анализ и проектирование»

Е. Н. Живицкая

Оглавление    
Лекция 16, «Агрегирование, эмерджентность, внутренняя целостность системы» Лекция 18, «Методология решения слабо структуризованных проблем»

Лекция 17: Методология решения неструктуризованных проблем

Классификация и общая характеристика методов экспертных оценок

Все методы экспертных оценок целесообразно разбить на 2 класса:

  1. Методы формирования индивидуальных экспертных оценок, причем отдельный эксперт может использоваться: для получения информации типа интервью; свободная беседа, беседа по принципу вопрос-ответ; перекрестный допрос и др. Для сбора исходных данных в методе парных сравнений и других. Для консультаций ЛПР и системных аналитиков.
  2. Методы формирования коллективных экспертных оценок, причем группа экспертов может использоваться:
    • для коллективной работы за круглым столом (метод комиссий — совещание для решения некоего вопроса; метод мозговой атаки; метод суда и др.);
    • для сбора исходных данных в методе Delfi и др.;
    • для проведения деловой игры;
    • для разработки сценария;
    • для построения дерева целей

К числу перспективных методов экспертных оценок относится метод Delfi. Он основан на тщательно разработанной процедуре последовательных индивидуальных спросов экспертов с помощью анкет. Опросы сопровождаются постоянным информированием экспертов о результатах обработки ранее полученных ответов. Экспертиза проводится в несколько туров до тех пор, пока не получают приемлимую сходимость в суждении экспертов. В качестве коллективной экспертной оценки принимается медиана окончательных ответов экспертов.

Метод Delfi непрерывно совершенствуется благодаря применению ЭВМ и использованию его в сочетании с другими методами. Новые модификации метода обеспечивают повышенную универсальность, быстроту и точность получения коллективных экспертных оценок (метод Delfi — конференция и др.).

Принципы формализации эвристической информации

Полученную от экспертов эвристическую информацию необходимо представить в качественной форме, которая удобна для обработки и анализа. При этом для формализации эвристической информации служат следующие типы шкал:

  1. шкала классификаций, позволяющая изучать исследуемые объекты с помощью тех или иных чисел;
  2. шкала порядка, позволяющая упорядочить исследуемые объекты по какому-либо признаку;
  3. шкала интервалов, позволяющая приписать исследуемым объектам относительные числовые значения;
  4. шкала отношений, позволяющая приписать исследуемым объектам абсолютные числовые значения;

Приведем пример шкал для формализации эвристической информации:

Лингвистические оценки Бальные оценки Шкала Е.Харрингтона
Отлично 5 0,8-1
Хорошо 4 0,63-0,8
Удовлитворительно 3 0,37-0,63
Плохо 2 0,2-0,37
Очень плохо 1 0-0,2

Шкала Харрингтона имеет аналитической описание в виде функции полезности:

y = exp[-exp(-x)], 0≤y≤1,

где х — исследуемая величина в диапазоне [-6;6]

С помощью шкалы Харрингтона можно привести векторные оценки с различной размерностью к безразмерному виду.

Mетод парных сравнений

Метод предусматривает использование эксперта, который проводит оценку целей. Z1, Z2, Zn.

Согласно методу осуществляются парные сравнения целей во всех возможных сочетаниях. В каждой паре выделяется наиболее предпочтительная цель. И это предпочтение выражается с помощью оценки по какой-либо шкале. Обработка матрицы оценок позволяет найти веса целей, характеризующие их относительную важность.

Одна из возможных модификаций метода состоит в следующем:

  1. составляется матрица бинарных предпочтений, в которой предпочтение целей выражается с помощью булевых переменных;
  2. определяется цена каждой цели путем суммирования булевых переменных по соответствующей строке матрицы.

Пример

эксперт проводит оценку 4-х целей, которые связаны с решением транспортной проблемы:

  • Z1 — построить метрополитен
  • Z2 — приобрести 2-хэтажный автобус
  • Z3 — расширить транспортную сеть
  • Z4 — ввести скоростной трамвай

Составим матрицу бинарных предпочтений:

Zi/Zj Z1 Z2 Z3 Z4
Z1   1 1 1
Z2 0   0 0
Z3 0 1   1
Z4 0 1 0  

Определим цену каждой цели (складываем по строкам)

C1 = 3; C2 = 0; C3 = 2; C4 = 1

Эти числа уже характеризуют важность объектов. Нормируем, т.к. этими числами не удобно пользоваться.

Исковые веса целей.

v1 = 3/6 = 0,5; v2 = 0; v3 = 0,33; v4 = 0,17

Проверка: сумма vi должна равняться 1.

Получаем следовательно порядок предпочтения целей:

Z1, Z3, Z4, Z2

Метод последовательных сравнений

В ИТК есть программа, которая реализует этот метод. Типичная задача из области проектирования. Одна из возможных модификаций метода состоит в следующем:

  1. Все цели располагаются в виде массива в порядке убывания их важности и назначаются предварительные оценки целей. При этом первая цель массива получает оценку 100, а остальным целям ставятся в соответствие оценки, отражающие их важность.
  2. Первая цель массива сравнивается со всеми возможными комбинациями ниже стоящих целей по 2. В случае необходимости оценка первой цели корректируется. Вторая цель массива сравнивается со всеми возможными комбинациями ниже стоящих целей по2. В случае необходимости оценка 2-ой цели корректируется и т.д.
  3. Производится запись скорректированных оценок и расчет на их основе весов целей.

Пример

Эксперт проводит оценку 4-х целей, которые связаны с решением транспортной проблемы (см.2.3).

Расположим цели в виде массива и назначим предварительные оценки Z1, Z3, Z4, Z2 (я расположил это по интуиции). Выставляем баллы: p1 = 100, p3 = 60, p4 = 40, p2 = 10

Выполним сравнение целей и корректировку их оценок

Z1(Z3℘Z4)
Z1(Z3℘Z2)
Z1(Z4℘Z2)
Z3(Z4℘Z2)

(т.е. цель Z1 сравниваем с комбинацией Z3 и Z4)...

Я считаю, что построить метрополитен лучше, чем 3 и 4, но 3+4 дают 100, поэтому корректируем оценки: p1 = 125; p3 = 60;

Запишем скорректируемые оценки и вычислим веса целей:

p1 = 125; p3 = 60; p4 = 40; p2 = 10;

v1 = 125/сумма всех оценок = 0,54; v3 = 0,25; v4 = 0,17; v2 = 0,04

сумма vi должна равяться 1.

Получаем следовательно порядок предпочтения целей: Z1, Z3, Z4, Z2

Метод взвешивания экспертных оценок

Постановка задачи:

Пусть имеется m Экспертов: Э1, Э2, Э, Эm, которые характеризуются оценками компетентности: R1, R2, ..., Rm.

Каждый эксперт независимо от других экспертов проводит оценку целей. Z1, Z2, ..., Zn.

В результате m независимых экспертиз получена матрица весов целей Vp:

Эi/Zi Z1 Z2 ... Zn
Э1 ϑ11 ϑ12 ... ϑ1n
Э2 ϑ21 ϑ22 ... ϑ2n
... ... ... ... ...
Эm ϑm1 ϑm2 ... ϑmn

Компетентность экспертов зависит от множества факторов:

  • занимаемой должности;
  • ученой степени;
  • ученого звания;
  • опыта практической работы;
  • числа научных трудов;
  • знания достижений науки и техники;
  • понимания проблем и перспектив развития и др.

Если учитывать только 2 первых фактора, то можно предложить матрицу оценок компетентности экспертов.

Занимаемая должность (Rj)
специалист без степени кандидат наук доктор наук академик
Ведущий инженер 1
С.Н.С., Н.С., М.Н.С. 1 1,5
Гл. Н.С., вед. Н.С. 2,25 3
Зав. лабораторией, сектора 2 3 4 6
Зав. отдела, заместитель 2,5 3,75 5 7,5
Руководитель комплекса, отделения 3 4,5 6 9
Директор, заместитель 4 6 8 12

Рассмотрим методику оценки компетентности экспертов, которая базируется на применении формул: R1 = (0,1⋅Ru+Ra)/2

Ru и Ra — коэффициенты информированности и аргументированности эксперта по решаемой проблеме. Коэффициент Ru определяется на основе самооценки эксперта по решаемой проблеме.

  • Ru = 0 — эксперт совсем не знает проблемы;
  • Ru = 1/3 — эксперт поверхностно знаком с проблемой, но она ходит вокруг его интересов;
  • Ru = 4/6 — эксперт знаком с проблемой, но не принимает непосредственное участие в ее решении;
  • Ru = 7/9 — эксперт знаком с проблемой и принимает непосредственное участие в ее решении;
  • Ru = 10 — эксперт отлично знает проблему.

Ru определяется в результате суммирования баллов по отметкам эксперта в следующей таблице:

Источники аргументаций Степень влияния источника на ваше мнение
высокая средняя низкая
Проведенный вами теоретический анализ 0,3 0,2 0,1
Ваш производственный опыт 0,5 0,4 0,2
Обобщение работ отечественных авторов 0,05 0,05 0,05
Обобщение работ зарубежных авторов 0,05 0,05 0,05
Ваше личное знакомство с состоянием дел за рубежом 0,05 0,05 0,05
Ваша интуиция 0,05 0,05 0,05

Составляется модифицированная матрица предпочтений. С оценками

Kji = n - kji (j=1,m, i=1,n)

Находятся суммарные оценки предпочтений по каждой цели:

Kji = ∑kji (i=1,n)

Вычисляются исходные веса целей:

ωi = Ki/∑Ki (i=1,n, где ∑ωi =1)

Пример

Два эксперта Э1 и Э2 заводят оценку 4-х целей: Z1, Z2, Z3, Z4. В результате 2-х независимых экспертиз получена матрица весов целей:

Эj/Zi Z1 Z2 Z3 Z4
Э1(R1) 0,5 0 0,33 0,17
Э2(R2) 0,54 0,04 0,2 0,17

Определим оценки компетентности экспертов, используя таблицу:

Э1 (руководитель комплекса, кандидат наук) → R1 = 4,5

Э2 (директор доктор наук) → R2 = 8

Вычислим относительные оценки компетентности экспертов:

Z1 = 4,5/12,5 = 0,36

Z2 = 8/12,5 = 0,64

Найдем искомые веса целей:

ω1 = 0,5⋅0,36 + 0,54⋅0,64 = 0,53

ω2 = ... = 0,02

ω3 = ... = 0,28

ω4 = ... = 0,17

Где сумма ωi должна быть равна 1.

Получаем следовательно предпочтения целей: Z1, Z3, Z4, Z2

Метод предпочтения

Постановка задачи: пусть имеется m экспертов: Э1, Э2, ..., Эm и n целей: Z1, Z2, ..., Zn. Каждый эксперт проводит оценку целей, пользуясь числами натурального ряда. Наиболее важной цели присваивается 1, менее важно -2 и т.д. В этих условиях веса целей определяются следующим образом:

  1. Составляется исходная матрица предпочтений

    Эj/Zi Z1 Z2 ... Zn
    Э1 k11 k12 ... k1n
    Э2 k21 k22 ... k2n
    ... ... ... ... ...
    Эm km1 km2 ... kmn

    1≤kij≤n (j=1,m, i=1,n)

  2. Составляется модифицированная матрица предпочтений. С оценками

    Kji = n - kji (j=1,m, i=1,n)

  3. Находятся суммарные оценки предпочтений по каждой цели:

    kji = ∑kji (i=1,n)

  4. Вычисляются исходные веса целей

    ωi = Ki/∑Ki (i=1,n), где ∑ωi = 1

Пример

Найдем веса целей методом предпочтения для случая: m = 2 и n = 6 (т.е. 2 эксперта и 6 целей).

  1. Исходная матрица предпочтений:

    Эj/Zi Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
    Э1 1 3 2 6 5 4
    Э2 2 4 1 5 6 3
  2. Модифицированная матрица предпочтения:

    Эj/Zi Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
    Э1 5 3 4 0 1 2
    Э2 4 2 5 1 0 3
  3. Суммарные оценки предпочтения:

    K1 = 9; K2 = 5; K3 = 9;
    K4 = 1; K5 = 1; K6 = 5;

  4. Искомые веса целей:

    ω1 = 9/сумму всех оценок = 0,3; ω2 = 0,166; ω3 = 0,3
    ω4 = 0,033; ω5 = 0,033; ω6 = 0,166

Метод ранга

Пусть имеется m экспертов Э1, Э2, Э , Эm и n целей Z1, Z2, ..., Zn. Каждый эксперт проводит оценку целей, пользуясь 10-бальной шкалой, причем оценки могут быть как целыми, так и дробными. В этих условиях веса целей определяются следующим образом:

  1. Составляется матрица оценок экспертов:

    Эj/Zi Z1 Z2 ... Zn
    Э1 p11 p12 ... p1n
    Э2 p21 p22 ... p2n
    ... ... ... ... ...
    Эm pm1 pm2 ... pmn

    0≤pji≤10 (j=1,m, i=1,n)

  2. Составляется матрица нормированных оценок:

    ω = pji/∑pji (j=1,m, i=1,n)

  3. Вычисляются искомые веса целей:

    ωi = ∑ωij/∑∑ωij (i=1,n ∑ωi=1)

Пример

Найдем веса целей для случая m = 2 и n = 6

  1. Матрица оценок экспертов:

    Эj/Zi Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
    Э1 10 7 9 3 4 5
    Э2 8 6 10 4 2 7
  2. Матрица нормированных оценок:

    Эj/Zi Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
    Э1 10/38 7/38 9/38 3/38 4/38 5/38
    Э2 8/37 6/37 10/37 4/37 2/37 7/37
  3. Искомые веса целей:

    ω1 = (10/38+8/37)/2 = 0,239; ω2 = ... = 0,173; ω3 = ... = 0,254
    ω4 = ... = 0,093; ω5 = ... = 0,079; ω6 = ... = 0,16

Метод полного попарного сопоставления

Постановка задачи: пусть имеется m экспертов Э1, Э, Эm и n целей Z1, Z2, ..., Zn. Каждый эксперт проводит попарное сопоставление целей в прямом и обратном направлениях, формируя матрицу частот, превалирования целей друг над другом, причем общее число суждений эксперта определяется формулой . В прямом и обратном направлении, т.е. заполняем не только наддиагональную часть. Это более точный метод. В этих условиях веса целей определяются следующим образом:

  1. Формируются матрицы частот (каждый эксперт заполняет свою матрицу). Смысл частот: характеризуют предпочтение одной цели перед другой

    Эj Z1 Z2 ... Zn
    Z1   f(z1/z2)j ... f(z1/zn)j
    Z2 f(z2/z1)j   ... f(z2/zn)j
    ... ... ...   ...
    Zn f(zn/z1)j f(zn/z2)j ...  
  2. Определяются оценки предпочтений:

    ϑkj = fki/N, для всех (k=1,n, j=1,m)

    Сначала задаем j и т.д.

  3. Определяются нормированные оценки

    fkj = ∑(Zk/Zl)j (l≠k, k=1,n, j=1,m)

  4. Вычисляются искомые веса целей:

    ωk = ∑ϑkj/∑∑ϑkj (k=1,n), где ∑ωk=1

Пример

Найдем веса целей методом полного попарного сопоставления для случая m = 2 и n = 6 размер шкалы 30 (т.е. в 29 случаях из 30 предпочтение отдается Z1). Можно корректировать оценки экспертов, т.е. Z1 > Z2 + Z2 и Z1 = 1.

  1. Оценки эксперта Э1:

    Э1 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
    Z1   29/30 27/30 1 1 29/30
    Z2 1/30   1/30 1 29/30 21/30
    Z3 3/30 28/30   1 29/30 29/30
    Z4 0 1/30 1/30   1/30 0
    Z5 1/30 0 1/30 23/30   1/30
    Z6 1/30 4/30 1/30 1 28/30  

    Оценки эксперта Э2:

    Э2 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6
    Z1   28/30 1/30 29/30 1 26/30
    Z2 1/30   0 29/30 29/30 2/30
    Z3 1 1   1 1 29/30
    Z4 1/30 0 0   27/30 1/30
    Z5 0 1/30 1/30 2/30   0
    Z6 5/30 29/30 1/30 29/30 1  
  2. Оценки предпочтений:

    f11 = 145/30 f12 = 114/30
    f21 = 88/30 f22 = 61/30
    f31 = 119/30 f32 = 149/30
    f41 = 3/30 f42 = 29/30
    f51 = 32/30 f52 = 4/30
    f61 = 64/30 f62 = 94/30

  3. Нормированные оценки:

    N = 6⋅5 = 30
    V11 = 145/30/30; V12 = 114/30/30
    V21 = 88/30/30; V22 = 61/30/30
    V31 = 119/30/39; V32 = 149/30/30
    V41 = 3/30/30; V42 = 29/30/30
    V51 = 32/30/30; V52 = 4/30/30
    V61 = 64/30/30; V62 = 99/30/30

  4. Искомые веса целей:

    ω1 = (145/900+114/900)/(902/900) = 0,287
    ω2 = ... = 0,165
    ω3 = ... = 0,297
    ω4 = ... = 0,035
    ω5 = ... = 0,04
    ω6 = ... = 0,175

Ранжирование проектов методом парных сравнений

Пусть имеется m экспертов Э1, Э2, ..., Эm и n проектов P1, P2, ..., Pn, подлежащих оценке. Для определенности будем считать, что 4 эксперта оценивают важность 4-х проектов P1, P2, P3, P4. Рассмотрим метод экспертных оценок, позволяющий ранжировать проекты по их важности:

  1. Эксперты осуществляют попарное сравнение проектов, оценивая их важность в долях единицы.

    j} π1 ⇔ π2 π1 ⇔ π3 π1 ⇔ π4 π2 ⇔ π3 π2 ⇔ π4 π3 ⇔ π4
    Э1 0,4 0,6 0,65 0,35 0,5 0,5 0,6 0,4 0,7 0,3 0,6 0,4
    Э2 0,3 0,7 0,55 0,45 0,6 0,4 0,7 0,3 0,6 0,4 0,6 0,4
    Э3 0,4 0,6 0,5 0,5 0,7 0,3 0,6 0,4 0,6 0,4 0,5 0,5
    Э4 0,5 0,5 0,5 0,5 0,6 0,4 0,5 0,5 0,7 0,3 0,7 0,3
    1,6 2,4 2,2 1,8 2,4 1,6 2,4 1,6 2,6 1,4 2,4 1,6
  2. Находятся оценки, характеризующие предпочтение одного из проектов над всеми прочими проектами

    f(1) = 1,6 + 2,2 + 2,4 = 6,2
    f(2) = 2,4 + 2,4 + 2,6 = 7,4
    f(3) = 1,8 + 1,6 + 2,4 = 5,8
    f(4) = 1,6 + 1,4 + 1,6 = 4,6

  3. Вычисляются веса проектов:

    ω1 = 0,26; ω2 = 0,31; ω3 = 0,24; ω4 = 0,19

  4. Полученные веса позволяют ранжировать проекты по их важности.

P1, P2, P3, P4 — результат решения. Реально применяется система реального времени (самолеты).

Ранжирование критериев по их важности методом Перстоуна

Пусть имеется m экспертов Э1, Э2, ..., Эm и n критериев K1, K2, ..., Kn, подлежащих оценке. Для определенности будем считать, что 10 экспертов оценивают важность 4-х критериев K1, K2, K3, K4. Рассмотрим метод экспертных оценок, позволяющий ранжировать критерии по их важности.

  1. Эксперты оценивают важность критериев, пользуясь числами натурального ряда, т.е. 1-ый эксперт считает, что критерий K3 наиболее важен (т.е. получили частное ранжирование):

    j} {Ki}
    K1 K2 K3 K4
    Э1 3 2 1 4
    Э2 1 2 3 4
    Э3 3 1 2 4
    Э4 1 2 3 4
    Э5 3 1 2 4
    Э6 3 1 2 4
    Э7 3 2 4 1
    Э8 3 4 1 2
    Э9 2 4 1 3
    Э10 2 1 3 4
  2. Находятся частоты fik, характеризующие предпочтение критериев в парных сравнениях:

    fik K1 K2 K3 K4
    K1   0,4 0,4 0,8
    K2 0,6   0,7 0,7
    K3 0,6 0,3   0,9
    K4 0,2 0,3 0,1  
  3. Получаем: берем оценки, характеризующие K1 и K2. Считаем, сколько раз K1 был предпочтительнее K2, т.е. из 10 случаев в 4-х, следовательно 4/10 = 0,4

  4. Dcj = ∑(Cjk - Ck^)2/(n - 1), (j=1,m),

    Dck = ∑(Cjk - Ck^)2/(m - 1), (k=1,n),

    где Ck- = ∑Cjk/n есть коллективная оценка К-того варианта системы. Дисперсия. Dcj дает информацию о близости суждений каждого отдельного эксперта коллективным суждениям группы экспертов, а дисперсия Dck характеризует степень согласованности группы экспертов при оценке К-того варианта системы.

  5. Выявляются аномальные значения дисперсий Dcj и Dck. При достаточно больших дисперсиях Dcj соответствующим экспертам представляется возможность защищать свою точку зрения. Анализируются причины, которые приводят к возрастанию дисперсий Dck. Если значения дисперсий удовлетворяют организаторов экспертизы, то выбирается рациональный вариант системы. В противном случае производится уточнение и дополнение исходных данных с повторением этапов 1-5.

  6. Осуществляется переход от частот fik к шкальным оценкам Xik на основе уравнения:

    fik = Ф(Xik) (i,k∈1,4),

    где Ф(Xik) = (1/(2⋅π))⋅∫l-t2/2dt есть интегральная функция Лаппасса-Гаусса, см. (Вентцель Е.С. «Теория вероятностей» М: Наука, 1969, стр.561-564)

    график

    Находим с помощью этой функции по значению функции значение аргумента.

    Xik K1 K2 K3 K4
    K1   -0,25 -0,25 0,84
    K2 0,25   0,52 0,52
    K3 0,25 -0,52   1,28
    K4 -0,84 -0,52 -1,28  
  7. Вычисляются веса критериев.

    Ki Xi^ = (1/n)⋅∑xik Ф(Xi^) ωi
    K1 0,08 0,53 0,26
    K2 0,32 0,63 0,31
    K3 0,25 0,6 0,3
    K4 -0,66 0,25 0,13

    Чтобы перейти к положительным числам сумма должна равняться 1.

Полученные веса позволяют ранжировать критерии по их возможности: K2, K3, K1, K4. Пример критериев — в самолете — дальность, высота, нагрузка, скорость.

Поиск наилучшей альтернативы на основе принципа Кондорсе

Рассмотрим принцип Кондорсе, базируясь на результатах частных ранжированиях альтернатив: a1, a2, a3, a4, a5.

  1. Эксперты осуществляют ранжирование альтернатив:

    Э1 = (a1, a3, a2, a5, a4)

    Э2 = (a1, a2, a4, a3, a5)

    Э3 = (a1, a2, a5, a3, a4)

    Э4 = (a2, a3, a1, a5, a4)

    Э5 = (a2, a4, a3, a1, a5)

  2. Находятся оценки mik, характеризующих предпочтение альтернатив в парных предпочтениях

    mik a1 a2 a3 a4 a5
    a1   3 3 4 5
    a2 2   4 5 5
    a3 2 1   3 4
    a4 1 0 2   2
    a5 0 0 1 3  
  3. Выполняются проверки согласно принципу Кондорсе: наилучшей является альтернатива ai, если mik ≥ mki для всех k ≠ i

    К = 4; m14≥m41; 4>1 — выполняется, т.е. правилу Кондорсе удовлетворяет только альтернатива a1.

  4. Выбирается альтернатива Кондорсе. Это a1.

Поиск результирующего ранжирования на основе Кемени-Снелла

Рассмотрим эвристический алгоритм Кемени-Снелла, базируясь на исходных данных раздела 2.10.

  1. Исходя из частных ранжирований определяются матрицы бинарных предпочтений с оценками pik = +1, если Ki предпочтительнее Kk. pik = -1, в противном случае (pik = 0 при несравнимости или равноценности объекта)

    Чтобы получить бинарную матрицу, соответствующию ранжированию, см. 2.10 пункт 1.

    Э1 K1 K2 K3 K4
    K1   -1 -1 +1
    K2 +1   -1 +1
    K3 +1 +1   +1
    K4 -1 -1 -1  
  2. K1 сравниваем с K2 (т.е. K1 хуже K2) следовательно -1, так все варианты. Если обе оценки одинаковы, то не существует.

    Э2 K1 K2 K3 K4
    K1   +1 +1 +1
    K2 -1   +1 +1
    K3 -1 -1   +1
    K4 -1 -1 -1  

     

    Э3 K1 K2 K3 K4
    K1   -1 -1 +1
    K2 +1   +1 +1
    K3 +1 -1   +1
    K4 -1 -1 -1  

     

    Э4 K1 K2 K3 K4
    K1   +1 +1 +1
    K2 -1   +1 +1
    K3 -1 -1   +1
    K4 -1 -1 -1  

     

    Э5 K1 K2 K3 K4
    K1   -1 -1 +1
    K2 +1   +1 +1
    K3 +1 -1   +1
    K4 -1 -1 -1  

     

    Э6 K1 K2 K3 K4
    K1   -1 -1 +1
    K2 +1   +1 +1
    K3 +1 -1   +1
    K4 -1 -1 -1  

     

    Э7 K1 K2 K3 K4
    K1   -1 +1 -1
    K2 +1   +1 -1
    K3 -1 -1   -1
    K4 +1 +1 +1  

     

    Э8 K1 K2 K3 K4
    K1   +1 -1 -1
    K2 -1   -1 -1
    K3 +1 +1   +1
    K4 +1 +1 -1  

     

    Э9 K1 K2 K3 K4
    K1   +1 -1 +1
    K2 -1   -1 -1
    K3 +1 +1   +1
    K4 -1 +1 -1  

     

    Э10 K1 K2 K3 K4
    K1   -1 +1 -1
    K2 +1   +1 +1
    K3 -1 -1   +1
    K4 ? ? ?  

     

  3. Определяется матрица потерь с оценками, т.е. мы переходим от 10 матриц к одной
  4. Выполняется обработка матрицы потерь. Пытаемся найти суммы оценок по строчкам:

    1 = 28; 2 = 20; ∑3 = 24; ∑4 = 48.

    Находим минимальное число; это 20, следовательно K2 исключается из матрицы потерь (перечеркнем все, что связано с K2 в матрице потерь).

    Все повторяем:

    1 = 16; 3 = 10; ∑4 = 34.

    1 = 4; ∑4 = 16.

    Из матрицы потерь сначала исключается K3, затем K1.

  5. Находится искомое результирующее ранжирование: K1, K2, K3, K4. Недостаток: у нас нет весов (в этом алгоритме). В МРТИ есть программа по этому методу.

Выбор рациональной структуры системы методом экспертных оценок

Рассмотрим метод экспертных оценок, который предполагает использование m экспертов Э1, ..., Эm, выполняющих оценку n конкурирующих вариантов в системе. В1, В2, ..., Вn.

  1. Составляется матрица взаимных оценок компетентности экспертов:

    Эjj Э1 Э2 ... Эm
    Э1   R12 ... R1m
    Э2 R21   ... R2m
    ... ... ...   ...
    Эm Rm1 Rm2 ...  
  2. На основе полученной матрицы вычисляется ряд характеристик:

    а) оценки компетентности экспертов:

    rj = ∑Rij/∑∑Rij (j=1,m), где 1≥rj≥0

    б) дисперсии оценок экспертов:

    DRi = ∑(Rij - Rj^)2/(m - 2) (i=1,m)

    DRj = ∑(Rij - Rj^)2/(m - 2) (j=1,m)

    где Rj^ = ∑Rij/(m - 1) есть коллективная оценка компетентности Эj эксперта.

    Дисперсия DRi дает информацию о близости суждений каждого отдельного эксперта коллективным суждениям группы экспертов. А дисперсия DRj характеризует степень согласованности группы экспертов при оценке компетентности Эj эксперта.

  3. Составляется матрица оценок конкурирующих вариантов системы:

    Эj/BR B1 B2 ... Bn
    Э1(Z1) C11 C12 ... C1n
    Э2(Z2) C21 C22 ... C2n
    ... ... ... ... ...
    Эm(Zm) Cm1 Cm2 ... Cmn
  4. На основе полученной матрицы вычисляется ряд характеристик:

    1. Коэффициенты предпочтительности вариантов:

      Ck = ∑Cjk⋅Zj/(∑∑Cj⋅Zj) (k=1,n, 0≤Ck≤1)

      т.е. это важнейшая характеристика.

    2. Дисперсии оценок вариантов (представим основные результаты экспертизы в табличной форме):

      j} Zj {Bk} Эcj
      B1 B2 B3 B4 B5 B6
      Э1 0,18 3 8 10 9 7 5 0,3
      Э2 0,16 2 7 9 10 8 4 0,46
      Э3 0,19 3 8 10 9 7 4 0,46
      Э4 0,14 2 8 10 9 7 4 0,58
      Э5 0,09 2 7 10 9 8 5 0,22
      Э6 0,12 2 7 9 10 8 5 0,3
      Э7 0,05 4 7 9 10 8 5 0,46
      Э8 0,01 3 6 10 9 8 5 0,38
      Э9 0,02 3 7 10 9 8 6 0,34
      Э10 0,04 4 7 9 10 8 6 0,7

10-го эксперта в следующий раз не пригласим. Анализ проведенных данных позволяет сделать вывод: в качестве рационального варианта системы рационально выбрать вариант В3.

Энтролийная оценка согласованности экспертов

Постановка задачи: пусть имеется m экспертов Э1, Э2, Э, Эm, которые проводят оценку n-целей Z1, Z2, ..., Zn, пользуясь какой-либо шкалой порядка, например, 10-тибальной шкалой. По результатам экспертизы необходимо найти:

  1. Коллективные экспертные оценки, позволяющие выбрать наиболее предпочтительный вариант.
  2. Оценки согласованности экспертов, подтверждающие достоверность коллективных экспертных оценок.

Для оценки согласованности экспертов целесообразно использовать энтролийный коэффициент согласия.

E = 1 - H/Hmax = 1 - H/(n⋅log2(n)) E ∈ [0,1].

Здесь

H = -∑∑pij⋅log2(pij),

где Pij — это оценка вероятностей, вычисляемая как отношение числа одинаковых рангов по Zi цели к числу экспертов m. Согласно формуле мы видим, что энтролийный коэффициент согласия может принимать 2 крайних значения. 0 — полная несогласованность эксперта, H = Hmax, 1 — полная согласованность эксперта, Н = 0 (энтропия). Вычислим энтропийный коэффициент согласия, базируясь на результатах экспертизы раздела 2.13 (в обратном порядке). Определим матрицу оценок вероятностей:

[Pij] =  0,4 0,3 0,6 0,6 0,3 0,5
0,4 0,6 0,4 0,4 0,7 0,3
0,2 0,1       0,3

2 встречается 4 раза в 10 случаях. Найдем энтропию Н, используя таблицу значений функции:

(Р) = -Р⋅log2(P)
Н = 7,13.

Вычислим искомый коэффициент:

E = (1 - 7,13)/(6⋅log2(6)) = 0,54

т.е. согласованность экспертов является вполне приемлимой.

Оглавление    
Лекция 16, «Агрегирование, эмерджентность, внутренняя целостность системы» Лекция 18, «Методология решения слабо структуризованных проблем»