«Исследования по общей теории систем»

В.Н. Садовский, Э.Г. Юдин

↑	Оглавление
←	Общая теория систем: критический обзор (Л. фон Берталанфи)	Общая теория систем — скелет науки (К. Боулдинг)	→

Математические аспекты абстрактного анализа систем

А. Рапопорт (перевод А. М. Микиши)

A. Rapoport, Mathematical Aspects of General Systems Analysis, «General Systems», vol. XI, 1966, p. 3—11.

Общая теория систем — это мировоззрение или методология, а не теория в том смысле, который придается этому термину в науке. Характерной особенностью этого мировоззрения, как следует из его названия, является то, что здесь подчеркиваются те аспекты предметов или событий, которые вытекают из общих свойств систем, а не из их конкретного содержания. В силу этого, очевидно, возможности и научная ценность общей теории систем зависят от того, существуют ли в действительности свойства, присущие всем системам, и если да, то можно ли вывести важные результаты из этих свойств. Это в свою очередь зависит от того, как определяется «система» или, в прагматическом плане, какие части мира следует рассматривать в качестве систем.

Теоретико-системное мировоззрение возникло из двух источников: во-первых, из обнаружения непригодности «механизма» в качестве универсальной модели, во-вторых, из тенденции противодействовать делению науки на взаимоизолированные специальности. Механистическое мировоззрение подверглось радикальной критике уже в 20-х годах нашего века Альфредом Нортом Уайтхедом (в книге «Science and the Modern World»). Основным тезисом книги было предостережение, что запас фундаментальных идей, на которых базируется современная наука («интеллектуальный капитал», по словам Уайтхеда), истощается. Это означает, что, если не будет найден новый источник идей, наука умрет. Уайтхед предполагал, что понятие «организм», которое до настоящего времени отрицалось в физической науке, может быть источником новых идей.

Фактически понятие «организм» всегда было основным в биологии. Выделение его из физики положило начало современной физической науке. Такое выделение было необходимо для того, чтобы освободить физику от мертвой хватки философии Аристотеля, в которой особое внимание уделялось телеологическим, целевым детерминантам движения. В этих рамках философы пытались объяснить падение камня «природой» камня, а подъем дыма — «природой» дыма. Предполагали, что «природа» предмета или вещества предопределяет его собственное, или естественное, положение, и поэтому движение объяснялось предполагаемым стремлением каждого предмета или вещества достичь своего естественного положения.

Такая телеологическая концепция движения оказалась бесплодной и была отвергнута Галилеем и его преемниками в пользу механистической концепции. В этой концепции стремились изучать не конечные состояния, а комбинации сил, действующих на тело в данный момент, которые определяют его движение как результат мгновенных изменений скорости. Наблюдаемое движение было следствием этих мгновенных изменений. В этой схеме нет места «природе» движущегося тела и его «естественному положению».

Феноменальный успех классической физики (которая выросла на основании механистической концепции) подтверждает плодотворность этой точки зрения. Трудность включения в нее поведения живых систем говорит о ее недостатках. Как преимущества, так и недостатки механистического мировоззрения присущи математическим методам, которые применяются при создании механистических теорий. Основным средством, используемым в этом случае, являются дифференциальные уравнения, которые, по существу, представляют собой утверждения о связи некоторых величин и скоростей их изменения. Например, закон движения частицы в гравитационном поле выражается соотношением, включающим ускорение, которое испытывает частица, силу и направление поля в данное время и в данном месте. Но сила и направление поля зависят от положения частицы, а ее ускорение требует второй производной (скорости изменения скоростей изменения) координат положения. Другими словами, закон движения в этом случае выражается дифференциальным уравнением. Решение такого дифференциального уравнения определяет положение частицы в будущем в том случае, если известны начальное положение, скорость и природа гравитационного поля. Огромная предсказательная сила небесной механики вытекает из детерминистского характера дифференциальных уравнений.

Если рассматриваются несколько тел, то гравитационное поле, связанное с каждым из них, влияет на ускорение каждого из них. Их движения тогда описываются системой дифференциальных уравнений, в которой отношения между положениями и ускорениями связаны сетью взаимозависимостей. Теперь, если дифференциальные уравнения, образующие систему, являются линейными, то есть если переменные и их скорости изменения имеют степень не больше первой, то применяются одни и те же общие методы решения независимо от того, сколько рассматривается уравнений. Однако дифференциальные уравнения, описывающие движения тел в гравитационном поле, отнюдь не являются линейными (поскольку гравитационные силы обратно пропорциональны квадратам расстояния между телами). Следовательно, эти уравнения нельзя решить с помощью известных общих методов.

К счастью, успеху механистического метода способствовал тот факт, что солнечная система, которой занималась классическая небесная механика, представляет особый, поддающийся объяснению случай, когда в движении находится несколько тел. Солнце так огромно по сравнению даже с самыми большими планетами, что взаимными гравитационными силами среди планет в первом приближении можно пренебречь. Другими словами, движение каждой планеты можно рассчитать с хорошей точностью, как если бы эта планета и Солнце являлись единственными двумя телами во Вселенной. Это так называемая задача двух тел, которую можно решить классическими методами. Для того чтобы получать лучшие аппроксимации, математики XVIII и XIX веков использовали так называемый метод возмущений, при котором влияние других планет накладывалось на решения отдельных задач двух тел. Успех этих методов обеспечивался слабостью взаимосвязи между отдельными компонентами в задачах двух тел. Если бы эти взаимосвязи были сильными (если бы, например, массы планет были сравнимы с массой Солнца), то математики столкнулись бы с задачей N тел, которая не решена в общем виде до настоящего времени.

Таким образом, особая природа солнечной системы оказала как стимулирующее, так и сдерживающее влияние на развитие прикладной математики. С одной стороны, успех математических методов заставил физиков поверить в силу этих методов и привел к созданию математической физики, которая до настоящего времени остается моделью абсолютно точной науки. С другой стороны, удачные методы «фиксировались» в умах специалистов по прикладной математике, которые пытались формулировать проблемы таким образом, чтобы они легко поддавались решению с помощью этих методов. Поэтому многие явления остались за пределами математической (то есть абсолютно точной) науки.

Наиболее важные из таких явлений — это явления, характеризующиеся «организованной сложностью». Математически «организованную сложность» можно рассматривать как множество предметов или событий, описание которых требует многих переменных, в том числе и сильно взаимосвязанных между собой; полученную таким способом систему уравнений нельзя решить «по частям», как в случае классической небесной механики, где возмущения могут накладываться на решения задач двух тел.

Для нас живой организм является наиболее очевидным примером «организованной сложности». Попытки представить живой организм в виде механизма были безуспешны, за исключением чрезвычайно ограниченных случаев, которые совершенно не касались основной проблемы, а именно описания процесса жизни (включая поведение) в механистических терминах. Осознание этой ограниченности привело некоторых философов (например, А. Бергсона) и некоторых биологов (например, Г. Дриша) к витализму, который исключает всякую надежду объяснить процессы жизни исходя из известных физических и химических процессов. Виталисты постулировали особые «жизненные силы» для объяснения специфических явлений жизни. Другие/философы, стремясь отказаться от концепций ad hoc, подобных «жизненной силе», подчеркивали необходимость реорганизации или расширения концептуального аппарата науки для того, чтобы «организованная сложность» вошла в сферу ее исследований. Таков был смысл предупреждения Уайтхеда о том, что интеллектуальный капитал, накопленный в XIX веке (то есть механистический метод анализа), истощается.

Механистический метод анализа можно понимать в более широком смысле, чем метод классической механики. Он включает все формы анализа, которые стремятся объяснить действие целого исходя из действия его частей. Такой метод характеризует не только классическую небесную механику (в которой поведение солнечной системы вытекает из поведения отдельных «материальных точек», составляющих ее), но также методы физиологии, в которой жизненный процесс рассматривается как следствие химических реакций; метод бихевиористической психологии, который понимает поведение как сумму «реакций на стимулы»; классическую экономику рынка, которая представляет экономический процесс как сумму действий индивидов (людей), причем побуждения к совершению действий купли и продажи определяются флуктуациями спроса и предложения, и т. д. Короче говоря, в более широком смысле механистическое мировоззрение — это развитие лапласовской мысли о том, что Вселенную (или любую часть Вселенной, которая нас интересует) можно объяснить, если известны все законы, управляющие составляющими ее элементарными единицами. Грубо говоря, это такое мировоззрение, которое утверждает, что целое является суммой его частей. Часто цитируемое отрицание этой точки зрения: «Целое больше суммы его частей» — следует рассматривать не как отрицание хорошо известной тавтологии, а как выражение непригодности механистического мировоззрения.

Прямой противоположностью механистическому мировоззрению является мировоззрение, которое считает «целое»отправной точкой исследования. Согласно этому мировоззрению, исходными считаются законы, управляющие поведением целого. В той степени, в какой нас интересует поведение частей, мы пытаемся вывести его из законов, управляющих поведением целого. В силу этого мы пытаемся вывести поведение индивидов из той роли, которую они играют в организации или обществе, о которых предполагается, что они управляются законами, относящимися к данному уровню организации. При таком подходе проблема синтеза поведения целого из поведения частей не рассматривается. Эта точка зрения, которую можно назвать организмической, преобладает в некоторых областях биологических и социальных наук. Например, когда физиолог объясняет действие органа исходя из той роли, которую он играет в выживании организма, или когда антрополог, принадлежащий к школе «функционалистов», объясняет человеческие действия или верования исходя из того, как они соответствуют «типу культуры», оба они используют организмический подход.

При организмическом подходе основное внимание уделяется «целому». При этом, как правило, исключаются методы механистического подхода. Слабость организмического подхода вытекает из его стремления к телеологическому объяснению, которое, как мы уже видели, привело в тупик физическую науку еще до времен Галилея.

Общую теорию систем или по крайней мере ее математический аспект можно рассматривать как попытку объединить механистический и организмический подходы с тем, чтобы воспользоваться преимуществами каждого из них. Система — это не просто совокупность (totality) единиц (частиц, индивидов), когда каждая единица управляется законами причинной связи, действующей на нее, а совокупность отношений между этими единицами. При таком подходе особое внимание уделяется организованной сложности, то есть тому обстоятельству, что добавление новой единицы вводит не только отношения этой единицы ко всем другим, но также изменяет отношения между всеми единицами. Чем более тесно взаимосвязаны отношения, тем более организована система, образованная этими отношениями. Степень организации, таким образом, становится основным понятием теоретико-системной точки зрения. Теории, рожденные этой точкой зрения, могут рассматриваться (с учетом их других характеристик) как вклад в общую теорию систем.

Второй причиной возникновения общей теории систем явилась, как мы уже говорили, осознанная необходимость противодействовать чрезмерной специализации в науке, которая — из-за отсутствия общего технического языка — грозит порвать все связи между учеными в различных областях или даже в различных разделах одной и той же области науки. Эта точка зрения была убедительно высказана Норбертом Винером в его книге «Кибернетика»¹. Кибернетика — пример науки, которая перекраивает сложившиеся области научного познания и, таким образом, делает возможной связь среди ученых различных специальностей.

В то время как организмическая концепция, предложенная Уайтхедом и другими философами, придерживающимися такой же точки зрения, была едва ли чем-то большим, чем простым пониманием проблем, возникших вследствие осознания непригодности механистической концепции, кибернетика явилась конкретным примером того, как — оставаясь в рамках строгих критериев, которые приняты в физической науке, — могут быть развиты системные понятия. Иными словами, кибернетика — это математический метод, специально разработанный для описания «организованной сложности».

Кибернетика определяется как наука о связи и управлении. Сначала она разрабатывалась в рамках проблем, поставленных в ходе разработки сложных систем вооружения, оборудованных автоматическим наведением и контрольными устройствами. Аналогичные проблемы возникли также при проектировании систем связи и быстродействующих вычислительных машин. Почти одновременно Норберт Винер — пионер кибернетики — и Клод Шеннон, который впервые строго сформулировал основы математической теории связи, пришли к осознанию основного принципа, относящегося ко всем этим проблемам, а именно принципа «количества информации». Понятие информации является таким же фундаментальным для кибернетики, как понятие энергии для классической физики.

Энергия является унифицирующим понятием, лежащим в основе всех физических явлений, связанных с работой и теплотой. Информация стала унифицирующим понятием, определяющим действие организованных систем, то есть систем, поведение которых контролируется (управляется) достижением заранее поставленных целей. Такое управление осуществляется с помощью процессов, включающих кодирование, сбор и передачу информации. В результате организмические, «телеологические» понятия целенаправленного поведения вновь вводятся в физическую теорию физических процессов. Однако в современной версии эти понятия выведены не из метафизических предположений относительно «природы» действующих сущностей, а из математической структуры систем, характеризующихся организованной сложностью.

Поскольку «количество информации» определяется в чисто математических терминах, это понятие применимо к анализу всех явлений, в которых рассматривается организованное поведение, направленное на достижение поставленной цели. Таким образом, идеи кибернетики служат не только для распространения точных математических методов на изучение организованной сложности; они явились также источником понятий, с помощью которых перекраиваются сложившиеся научные дисциплины. Поэтому идеи кибернетики являются средством, препятствующим отчуждению между учеными, которые отдаляются друг от друга из-за барьеров, создаваемых специализированным техническим языком.

Примером такой интегративной функции кибернетики может служить слияние биологических и физических понятий, которое стимулировала кибернетика. Понятие «количество информации» сыграло важную роль в этом процессе. «Количество информации», необходимое для описания какого-то состояния, связано со средним (ожидаемым) количеством возможных состояний, требующихся для угадывания истинного состояния из всех возможных вариантов. Так, если я попрошу вас отгадать число, которое я произвольно выбрал из ряда чисел от единицы до одного миллиона, вам потребуется для его определения в среднем больше испытаний, чем если бы я выбрал это число от единицы до ста. («Испытание» понимается как вопрос, на который можно ответить «да» или «нет».)

Можно показать, что число от единицы до ста всегда можно отгадать за семь испытаний, тогда как число от единицы до миллиона требует для отгадывания двадцать испытаний. Для этого необходимо отгадывать таким образом, чтобы на каждом шаге процесса исключать половину оставшейся части. В случае миллиона начинают: «Меньше ли это число 500 000?». Если да, то продолжают: «Меньше ли это число 250 000?». Если нет, то: «Меньше ли оно 375 000?»и т. д. Поскольку один миллион меньше 2²⁰, потребуется самое большее 20 таких делений для определения загаданного числа.

До сих пор мы считали, что выбор любого числа из некоторого ряда возможен с равной вероятностью. Если дело обстоит не так, то «количество информации» уменьшается. В частности, пусть p_n вероятность того, что число n выбрано из ряда 1≤n≤N. Тогда можно показать, что H(n) = ∑p_nlog₂(p_n) есть среднее число испытаний, которое требуется, чтобы отгадать число. В этом случае H(n) определяется как количество информации, связанное с данной ситуацией.

Винер отметил, что математическое выражение количества информации формально идентично выражению, обозначающему энтропию физической системы. В физической интерпретации p обозначает вероятность того, что система находится в некотором «молекулярном состоянии», определяемом распределением молекул и их скоростей. Эта формула была получена в статистической механике и служит связующим звеном между кинетической теорией газов и классической термодинамикой. Понятие энтропии было разработано в термодинамике в связи с формулировкой так называемого второго начала термодинамики.

Второе начало термодинамики утверждает, что если физическая система (в другой формулировке — просто часть физической Вселенной) изолирована от окружающей ее среды, то количество энтропии в системе способно только к увеличению до максимума (никогда не уменьшается). Физически это означает, что хотя общее количество энергии в системе остается постоянным (следствие первого начала термодинамики), однако количество так называемой «свободной энергии» (то есть энергии, которая может действовать на окружающую среду) может только уменьшаться. Другими словами, в изолированной системе наблюдается тенденция к уменьшению («деградации») ее энергии, то есть к превращению ее в тепловую энергию, которая непригодна для «полезной работы» (в смысле действия на окружающую среду). Статистически это означает, что изолированные системы стремятся перейти от менее вероятных конфигураций к более вероятным, или (что одно и то же) от более организованных состояний к более хаотическим.

Какое-то время виталисты ссылались на второе начало термодинамики для подтверждения своих утверждений. Им казалось, что живые организмы нарушают второе начало; по крайней мере в процессе эмбрионального развития организм становится более организованным, а не наоборот. Только после смерти наступает процесс дезорганизации, который идет до тех пор, пока организм не разрушится и постепенно не станет неотделим от окружающей среды. Виталисты пытались, таким образом, объяснить способность живых организмов понижать энтропию действием жизненного принципа, выходящего за пределы физических законов.

Потребовалось немного времени, чтобы указать основную ошибку в выводах виталистов. Второе начало термодинамики применимо только к изолированным системам. Изолированная система не может быть живой системой (по крайней мере в течение продолжительного времени). Следовательно, аргумент, основанный на предположении о том, что живые системы не подчиняются второму началу, рушится. Однако аргумент виталистов, хотя он сам по себе и был необоснованным, послужил основной причиной того, что большое внимание было уделено фундаментальному аспекту жизненных процессов, который ранее оставался незамеченным, а именно тому факту, что пища, поглощаемая живыми организмами, служит не только источником энергии, но также источником свободной энергии, которая компенсирует увеличение энтропии, связанное с физическими и химическими процессами (согласно действию второго начала термодинамики). По образному выражению Э. Шредингера, «жизнь питается отрицательной энтропией (негэнтропией)». Пища, потребляемая животными, и солнечный свет, поглощаемый растениями, богаты негэнтропией (свободной энергией), а она снабжает живые организмы не только энергией, используемой для поддержания жизненных процессов, но также средствами для поддержания и даже увеличения «организованной сложности », характеризующей их как живые системы, и таким образом препятствует тенденции к дезорганизации, присущей действию второго начала.

Мысль Винера о значении математической связи между энтропией и информацией разъясняет также фундаментальный принцип жизни. Увеличение энтропии можно рассматривать как «разрушение информации», и, наоборот, информацию можно использовать для уменьшения энтропии. Простая аналогия может служить иллюстрацией этого принципа. Рассмотрим колоду игральных карт в том виде, как она выходит с фабрики, то есть в определенном порядке. Если мы знаем порядок, мы можем с уверенностью назвать карту, которая следует за любой данной картой. Другими словами, знание выбранной карты дает нам информацию о той карте, которая за ней следует. Теперь перетасуем колоду путем повторных снятий карт. После того как карты сняты несколько раз, мы еще можем довольно часто отгадать, какая карта следует за данной картой (если не случится так, что две соседние карты разъединены во время снятия). Однако, по мере того как карты снимаются все большее число раз, мы будем все больше и больше ошибаться в наших попытках отгадать карту. В конце концов колода будет полностью «перемешана», и поэтому мы будем отгадывать карту, которая следует за данной картой, только случайно (один раз из 51 испытания). Таким образом, вся информация, даваемая данной картой о следующей карте, оказывается искаженной в результате перетасовывания карт. Этот процесс аналогичен действию второго начала термодинамики. Колода от упорядоченного (детерминированного) состояния переходит в хаотическое (вероятностное) состояние. Мы не можем изменить этот процесс непрерывной перетасовкой карт; первоначальный порядок почти наверняка не будет восстановлен.

Мы можем, однако, восстановить первоначальный порядок, «насыщая информацией» колоду. Это можно сделать следующим образом. Представим положение каждой карты в соответствии с первоначальным порядком, то есть 1—52. Посмотрим последовательно на каждую карту перетасованной колоды; если она передвинулась вперед от своего первоначального положения, передвинем ее на одно положение назад, и наоборот. Поступая так, мы «вводим» информацию (в форме альтернативных решений) в колоду. В конце концов первоначальный порядок карт будет восстановлен. Другими словами, процесс, аналогичный отмене действия второго начала, по-видимому, может происходить в системе, если допустимо вмешательство в нее в форме подобных решений.

Такое понимание второго начала термодинамики позволило Кларку Максвеллу сформулировать интересную мысль: существо с чрезвычайно острым восприятием, позволяющим ему наблюдать и контролировать положения и скорости единичных молекул (демон Максвелла), могло бы изменить процесс возрастания энтропии (беспорядок) даже в изолированной системе. Стороннему наблюдателю может показаться, что такая система нарушает второе начало термодинамики.

Однако в аргументации Максвелла имеется существенная ошибка. Если внутри системы появится демон, то процессы, происходящие в нем, следует также учитывать при расчете общего изменения энтропии. Впоследствии Л. Сцилард, а позднее Л. Бриллюэн показали, что процессы внутри демона (независимо от того, механизм это или организм) должны быть такими, что уменьшение энтропии, вызванное его вмешательством, по крайней мере компенсируется (вообще говоря, более чем компенсируется) увеличением энтропии в демоне. Если, с другой стороны, вмешивается демон, не входящий в данную систему, то систему нельзя больше считать изолированной и второе начало к ней неприменимо.

Понимание именно этого основного различия между изолированными и неизолированными системами позволило Л. фон Берталанфи сформулировать собственный подход к общей теории систем. Это различие, подробно рассмотренное Берталанфи, приводит к чрезвычайно важному проникновению в природу жизни.

Самым основным свойством живого организма является его способность сохранять свое «организованное »состояние, несмотря на постоянную тенденцию к дезорганизации, вызываемую действием второго начала термодинамики. Мы видели, что эта способность обязана тому, что живой организм является открытой (неизолированной) системой. Следовательно, биология должна развиваться в направлении построения теории таких систем. В частности, характерные свойства живых организмов, например стремление к сохранению состояний подвижного равновесия, принцип эквифинальности (достижение конечных состояний независимо от начальных условий), совершенно очевидное целеустремленное поведение организмов и т. д., следует выводить из общих свойств открытых систем.

Учитывая то обстоятельство, что такие общие свойства систем описываются в языке, который не зависит от специфической природы систем, общая теория систем может дать основу для объединения специализированных дисциплин и, таким образом, уменьшить разобщенность исследователей, которых разделяет сверх-специализированный язык.

Принято считать, что язык математики может служить языком общей теории систем главным образом потому, что этот язык лишен содержания и выражает только структурные (реляционные) свойства исследуемых ситуаций.

В качестве примера рассмотрим систему химических реакций, в которых скорость изменения концентрации каждого из рассматриваемых веществ является линейной функцией концентраций всех веществ. Поведение такой системы описывается системой линейных дифференциальных уравнений первого порядка следующей формы:

(i = 1, 2, ..., n),

(1)

где x_i — концентрация i-го вещества, a_ij обозначает влияние вещества j на скорость изменения вещества i. Это влияние является усиливающим, если a_ij положительно, и ослабляющим, если a_ij отрицательно. Постоянная b_i обозначает приток извне i-го вещества (если она положительна) или его отток (если она отрицательна).

Предположим теперь, что нас интересует состояние равновесия системы, то есть состояние, при котором все скорости изменения равны нулю. Мы можем получить такое равновесное состояние, если положим, что левая часть каждого уравнения равна нулю, и решим их для х_i, получив таким образом концентрации, которые гарантируют установление состояния равновесия. Пусть наша система будет изолированной, то есть не будет иметь ни притоков, ни оттоков. Математически это означает, что все b_i равны нулю. Тогда получается однородная система n линейных уравнений с n неизвестными. Известно, что единственным решением такой системы является х_i = 0. Другими словами, единственным состоянием равновесия, которое определяется нашими условиями, будет тривиальное состояние, когда все концентрации равны нулю. Однако мы упустили важное условие: поскольку речь идет о реальной физической системе, то общая масса всех веществ должна оставаться одинаковой (закон сохранения массы). Математически этот закон выражается условием

.

(2)

Но если это условие имеет место, мы, полагая dх_i/dt = 0, получаем в этом случае (n-1) независимых уравнений. Такая система имеет бесконечное множество решений. Единственное решение можно получить только в том случае, если наложить на систему дополнительные условия. Если система изолирована, такое дополнительное условие должно быть утверждением относительно общей массы (или суммы концентраций) веществ, то есть

,

(3)

где C — константа. В этом случае система имеет единственное состояние равновесия, причем оно зависит от С, то есть от суммы начальных концентраций.

Предположим теперь, что рассматриваемая система является открытой, в ней есть притоки и оттоки вещества. Теперь не все b_i равны нулю; система уравнений является неоднородной и (за исключением некоторых специальных случаев) имеет единственное состояние равновесия. Это равновесное состояние не зависит от начальных концентраций. Следовательно, мы можем оказывать воздействие на систему, то есть увеличивать или уменьшать различные концентрации; несмотря на это, система будет стремиться к тому же самому состоянию равновесия, как только мы оставим ее в покое. Это равновесное состояние будет зависеть только от a_i и b_i то есть от отношений внутри системы и между системой и внешним миром. Такая система будет проявлять свойство эквифинальности, то есть наблюдателю покажется, что она «стремится»к окончательному состоянию, «которое присуще» ей. Наивный наблюдатель может обратиться для ее описания к телеологическим понятиям или приписать преднамеренное поведение системе подобного рода, тогда как математический анализ показывает, что, казалось бы, преднамеренное поведение системы является следствием того факта, что эта система открытая, а не закрытая.

Вопрос о существовании равновесного состояния, независимого от начальных условий, — это всего лишь один из многих вопросов, которые можно задать относительно поведения системы. Другие важные вопросы относятся к стабильности (устойчивости) состояний равновесия, если таковые существуют. Равновесное состояние является стабильным, если небольшие отклонения от него возвращают систему в конце концов к тому же самому состоянию равновесия. Если, однако, небольшие отклонения имеют тенденцию к «увеличению», так, что система отодвигается все дальше от состояния равновесия, то такое равновесное состояние является нестабильным (неустойчивым). Далее, система может иметь несколько состояний равновесия, если описывающие ее дифференциальные уравнения не являются линейными. Таким образом, число и стабильность (устойчивость) состояний равновесия системы, а также ее поведение при переходе от равновесных состояний к промежуточным состояниям полностью определяются структурой математической модели, которая описывает систему.

Математические аспекты общей теории систем касаются структуры математических моделей, описывающих системы. Перенос внимания со специфической природы систем (физической, биологической, социальной) на их математическую структуру позволяет сформулировать строгое определение понятия «система», указать пути к объединению организмической и механистической точек зрения и открывает богатые возможности для устранения разрыва между специализированными дисциплинами.

Система с математической точки зрения — это некоторая часть мира, которую в любое данное время можно описать, приписав конкретные значения некоторому множеству переменных. Совокупность этих значений определяет состояние системы. Статическая, или структурная, теория систем — это совокупность утверждений, которые связывают значения этих переменных друг с другом при определенном выборе состояния системы (например, для состояния равновесия). Динамическая теория систем — это теория, которая указывает, как изменение значений некоторых переменных зависит от значений или от изменений значений других переменных. Таким образом, динамическая теория — это совокупность утверждений, из которых можно математически вывести поведение системы (описать, как она переходит из одного состояния в другое).

Система тем сложнее, чем больше переменных требуется для описания ее состояния. Система тем более организованна, чем больше у нее возможностей противодействовать возмущениям относительно «достижения выбранной цели». Фразу в кавычках следует понимать метафорически. Никакого сознательного стремления к целям системе приписывать не следует. «Цель» в общем смысле — это просто некоторое конечное состояние, к которому стремится система в силу своей структурной организации (как это было показано выше на примере химической реакции).

Организация и сложность связаны между собой. Например, сущность автоматизации заключается в способности машин приспосабливаться к изменяющимся условиям (как это имеет место, например, на автоматическом нефтеочистительном заводе). Для регулирования необходимы «органы чувств» (приемные устройства, которые получают данные из окружающей среды), коммуникационные сети, коррекционные устройства и т. д. Все это способствует большей сложности, поскольку состояние каждого устройства — это дополнительная переменная в состоянии системы.

Как уже указывалось, теоретико-системный подход обеспечивает связь между механистической точкой зрения, которая не рассматривает работу сложной системы как некоторого целого, и организмической точкой зрения, которая опирается на телеологические понятия ad hoc и часто жертвует точностью ради представляющихся соблазнительными описаний поведения системы. Наиболее значительное преимущество математической точки зрения на теорию систем заключается, однако, в естественной обобщенной и интегративной функции математической теории.

С точки зрения математической теории две системы тем сильнее связаны, чем более аналогичны по своей структуре описывающие их математические модели. В качестве примера рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений:

(i = 1, 2, ..., n),

(4)

Это система уравнений второй степени, потому что в ее правой части имеются, кроме самих переменных и постоянных членов, попарные произведения переменных. Данная система уравнений является приемлемым описанием системы химических реакций, когда реакции происходят вследствие столкновений между молекулами различных рассматриваемых веществ. Частоты таких столкновений в основном пропорциональны произведениям соответствующих концентраций, что отражено в квадратичных членах. Линейные члены обозначают мономолекулярные реакции, тогда как постоянные члены, как и в предыдущем примере, соответствуют притокам и оттокам. Однако эти уравнения сами по себе отнюдь не предполагают их интерпретации в форме химических реакций. Вполне возможно, что переменные уравнений обозначают популяции нескольких видов организмов в экологической системе. Если члены таких популяций охотятся друг за другом, тогда вполне возможно, что скорость увеличения или уменьшения популяции зависит от частоты, с которой индивиды «сталкиваются», поскольку столкновение между хищником и его жертвой может привести к смерти жертвы и к увеличению популяции хищника в целом. Аналогично, размножение зависит от встреч членов одних и тех же видов противоположного пола. Следовательно, уравнения (4) могут представлять приемлемую модель экологической системы, так же как и химической системы.

И наконец, рассмотрим популяцию, состоящую из людей, разделенных на группы, причем каждая группа характеризуется определенным типом поведения или комплексом мнений или убеждений (то есть элементами субкультур, религий, политических партий и т. п.). Контакты между членами групп могут привести к изменениям или модификациям типов поведения, убеждений и т. п. и, следовательно, к увеличению или уменьшению данных групп. Таким образом, уравнения (4) могут рассматриваться также как модель некоторого социального процесса.

Насколько точно математическая модель может описать реальную систему — это важный, но не основной вопрос общей теории систем. Чтобы ответить на этот вопрос, требуется интенсивное эмпирическое исследование рассматриваемой системы. В центре такого исследования находится содержание изучаемых событий. Однако общая теория систем рассматривает в основном структуры систем, которые определяются отношениями, имеющими место между частями системы: она рассматривает вопрос о том, как эти отношения определяют динамическое поведение системы (ее переход из одного состояния в другое), а также исследует историю системы, то есть ее собственное развитие в результате взаимодействия системы с окружающей ее средой.

Математическая общая теория систем дает описание этих трех аспектов систем, а именно структуры, поведения и эволюции, на абстрактном математическом языке. Типология систем соответственно становится математической типологией. Две системы идентичны, если математические структуры соответствующих им моделей идентичны (или изоморфны, используя математическое выражение). Степень подобия систем определяется степенью взаимосвязи их математических моделей.

Перенос внимания с содержания на структуру событий помогает при решении многих научных споров, которые вот уже долгое время не получают удовлетворительных ответов. Например, в свете организмического подхода к теории социальных систем напрашивается ряд аналогий. Легко можно предположить, что социальный институт — это организм. Можно считать, что его организационная структура соответствует «анатомии», его образ жизни — «физиологии» или «психологии», его история — развитию организма, а историю данного типа института можно сравнить с эволюцией организма. Аналогия может быть очень соблазнительной, но из этого отнюдь не следует, что она надежна. Нам не известны возможные границы аналогии; мы не знаем также, как ответить тем, кто преуменьшает значение любой теории, сводя ее к «простой аналогии». В конце концов, социальный институт — это не биологический организм, и сходство, выявленное аналогией, может быть таким же ложным, как и сходство некоторых конфигураций облаков с животными или грома со взрывом гнева.

Другим известным примером горячего спора относительно обоснованности аналогии служит спор по вопросу о том, является ли мозг вычислительной машиной. Этот спор усугубляется столкновением философских убеждений. Есть люди, которые лелеют мысль свести все явления, включая умственные операции и эмоции, к физическим явлениям; и есть другие, которые отвергают эту мысль. Общая теория систем обходит этот вопрос. Ее интересует, в какой степени работа мозга может быть уподоблена работе вычислительной машины. Ответ на этот вопрос следует искать не в том, что такое мозг и что такое вычислительная машина (такие вопросы являются отголосками донаучной метафизики), а скорее в том, какие операции производят разум и вычислительная машина. В той мере, в какой некоторые операции мозга можно представить в виде поведения системы с некоторой гипотетической структурой и динамическими свойствами, и в той мере, в какой такая система может быть смоделирована вычислительной машиной, и мозг и вычислительная машина являются, по-видимому, реализацией определенного вида абстрактной системы.

Заметим, что это не значит, что мозг есть вычислительная машина. Определение степени, в которой может быть выполнена эта аналогия, является эмпирическим вопросом, а не метафизическим. Несомненно, каждая такая переформулировка проблемы облегчает поиск новых знаний как в области автоматической обработки информации (технологии вычислительной машины), так и в области физиологии мозга. В этом смысле понятие «количество информации», которое обсуждалось выше, несет функции объединения теоретических построений, сильно отличающихся друг от друга по содержанию, но аналогичных по структуре.

Еще одним примером, показывающим, как формулирование идей теории систем в математическом виде вносит ясность в некоторые старые проблемы, могут стать последние работы по математическому подходу к определенным аспектам международных отношений. Идея равновесия сил вот уже долгое время является основной при рассмотрении международных отношений. Эта мысль отчетливо вытекает из аналогии с физическим равновесием.

Против нее выдвигаются те же возражения, что и против любых форм мышления по аналогии. Можно, однако, построить различные математические модели государственных отношений между странами. При этом авторы таких моделей преследуют одну цель — установить, какие теоретические выводы можно строго (то есть математически) вывести из этих моделей. Мы уже видели, как с помощью математического анализа выявляются существенные различия между устойчивым и неустойчивым равновесиями. Свойство устойчивости (стабильности) — это общее свойство всяких систем. Если совокупность отношений между государствами, соперничающими друг с другом за власть, образует систему, то эта система обладает определенными свойствами устойчивости или неустойчивости в зависимости от параметров ее динамики.

Экономические системы также характеризуются степенью стабильности или нестабильности в определенных фазах своего существования. В той степени, в какой некоторые аспекты экономической системы (колебания уровней производства, цен и капиталовложений) можно ввести в математические модели, на вопросы о равновесных состояниях системы и их стабильности можно ответить посредством точных математических выводов, а не путем интуитивных догадок.

Было бы неосторожно делать определенные выводы о стабильности экономической или международной систем на основании свойств разных гипотетических систем, предложенных в качестве их моделей. Однако изучение этих чисто теоретических построений не может не быть полезным в смысле расширения концептуального кругозора теоретиков. Математические модели обращают наше внимание на такие аспекты явлений, которые иначе могли бы выпасть из поля нашего зрения.

В последние годы все больше внимания уделяется вероятностным, или стохастическим, аспектам исследуемых систем. Соответствующие модели основываются на предположении, что переход системы из одного состояния в другое состояние управляется законами теории вероятностей. Возникает вопрос, может ли система, определенная таким образом, служить еще одним примером «организованной сложности», поскольку принято трактовать организацию на основе Хорошо определенных, детерминированных событий, а не событий, случайных по своей природе. На это можно ответить двояко. Во-первых, различие между детерминированным и вероятностным не является резким. Вероятность стремится к определенности по мере того, как значение вероятности одного из возможных событий приближается к единице. Следовательно, вероятностная теория систем представляет собой полезное теоретическое построение, относящееся к ситуациям, промежуточным между хаосом и организацией. В самом деле, степень организации системы можно определить в терминах отклонения ее наблюдаемого поведения от базисной линии, которая определяется чисто случайными событиями. Во-вторых, при возрастании числа систем вероятности становятся частотами, что для наблюдаемых распределений характеристик системы в определенном смысле восстанавливает детерминизм.

Использование вероятностных и стохастических моделей для описания систем предоставляет в распоряжение общей теории систем аппарат теории стохастических процессов. Подобно всем другим математическим средствам, понятия теории стохастических процессов не имеют конкретного содержания и, следовательно, открывают дополнительные возможности для объединения теорий с разным содержанием. Статистику несчастных случаев, разводов, забастовок, выборов и т. д. можно вывести из соответствующих стохастических моделей. Параметры этих моделей образуют соответствующие характеристики системы. Эти параметры являются структурными параметрами, не зависящими от содержания, и, следовательно, оказываются подходящим строительным материалом для соответствующих унифицированных теорий, модифицирующих и перекраивающих специальные понятия, которые относятся к определенному, конкретному содержанию.

Обращая внимание на методологические преимущества общей теории систем, особенно на ее математический аппарат, не следует, безусловно, забывать о недостатках этого метода. Выводы о структурном подобии двух или более систем справедливы только в том случае, если соответствующие математические модели достаточно точно описывают такие системы. В действительности, однако, часто бывает чрезвычайно трудно построить математическую модель. Некоторые системы не поддаются попыткам математического описания. До сих пор все предложения по созданию математических моделей мозга оставались не более чем просто предложениями. На самом деле такой модели не существует, и она, по-видимому, неосуществима, если под моделью подразумевается нечто большее, чем описание в математических терминах некоторых очень специальных характеристик функционирования нервной системы.

Таким образом, слишком большая вера в математическую общую теорию систем может привести к одному из двух нежелательных последствий. Во-первых, иногда уделяется слишком серьезное внимание весьма далеким от адекватности моделям и упускается из виду необходимость построения более пригодных моделей. Во-вторых, усилия могут быть затрачены впустую, когда математическому анализу подвергаются такие сложные системы, которые не поддаются подобному анализу, и когда при этом отрицают все другие методы, как, например, чисто организмический подход, оказавшийся в конечном счете весьма плодотворным в классической биологии. Поэтому разумнее рассматривать математическую абстрактную теорию систем как существенный вклад в концептуальный багаж современного ученого, а не как метод, который должен затмить все другие методы.

Литература

1. Bertalanffy L. von, General System Theory — A Critical Review, «General Systems», vol. VII, 1962, p. 1—20 (русский перевод см. в настоящем сборнике).
2. Brillouin L., Life, Thermodynamics and Cybernetics, «American Scientists», vol. 36, 1949, p. 554—568.
3. Schroedinger E., What Is Life? New York, The Macmillan Co., 1945 (русский перевод — Шредингер Э., Что такое жизнь с точки зрения физики, М., ИЛ, 1949).
4. Shannоn С. Е. and Weaver W., The Mathematical Theory of Communication, Urbana, III., University of Illinois Press, 1949 (русский перевод — Шеннон К. Э., Работы по теории информации и кибернетике, М., ИЛ, 1963).
5. Szilard L., Uber die Entropieverminderung in einen thermodynamischen System bei Eingriffen intelligenter Wesen, «Zeitschrift fur Physik», vol. I, 53, 1924, S. 840—856.
6. Whitehead A. N., Science and the Modern World, New York, Pelican Mentor Books, 1948.
7. Wiener N., Cybernetics, New York, John Wiley and Sons, 1948; (русский перевод — Винер H., Кибернетика или управление и связь в животном и машине, 2-е изд., М., «Советское радио», 1968).

Сноски

1. Выделение авторов как сторонников определенных точек зрения не означает их приоритета в этой области. Так, Л. Берталанфи, которому принадлежит термин «общая теория систем», опередил Винера, указав на необходимость противодействовать полному обособлению наук. Мы ссылаемся в данном случае на Н. Винера для того, чтобы подчеркнуть значение кибернетики в установлении конкретных идей, которые стимулировали развитие проблем общей теории систем.

↑	Оглавление
←	Общая теория систем: критический обзор (Л. фон Берталанфи)	Общая теория систем — скелет науки (К. Боулдинг)	→